چگونه نوسانات، زمان تا انقضا و نرخ بدون ریسک، ارزش تئوریک یک آپشن اروپایی را در مدل بلک-شولز تعیین می‌کنند

معامله‌گری که با نادیده گرفتن نرخ بدون ریسک یا درک نادرست از افت زمانی، یک آپشن را اشتباه قیمت‌گذاری می‌کند، پیش از تسویه معامله پول خود را از دست داده است. در بازار مشتقات، قراردادها بر اساس شهود ارزش‌گذاری نمی‌شوند؛ بلکه با استفاده از یک چارچوب دقیق ریاضی قیمت‌گذاری می‌شوند که عدم قطعیت، زمان و شرایط قرارداد را به یک برآورد دلاری منضبط تبدیل می‌کند.[2]

این چارچوب همان مدل بلک-شولز (Black-Scholes) است؛ یک معادله قیمت‌گذاری در زمان پیوسته که در سال ۱۹۷۳ توسط فیشر بلک و مایرون شولز، با مشارکت‌های مستقل رابرت مرتون منتشر شد. پیش از معرفی آن، معامله‌گران هیچ روش منسجمی برای تعیین قیمت یک آپشن سهام نداشتند و در عوض به حدس و گمان‌هایی تکیه می‌کردند که اغلب در بازتاب ریسک واقعی دارایی پایه ناکام می‌ماند.[2]

این مدل با اثبات اینکه یک آپشن دارای قیمت تئوریک منحصربه‌فردی است که از یک سبد شبیه‌ساز با پوشش ریسک پیوسته دارایی پایه به دست می‌آید، این مشکل را حل کرد. برای این پیشرفت چشمگیر، شولز و مرتون در سال ۱۹۹۷ جایزه نوبل علوم اقتصادی را دریافت کردند. فیشر بلک به دلیل مرگش در سال ۱۹۹۵ واجد شرایط دریافت این جایزه نبود؛ وقفه‌ای ۲۴ ساله بین انتشار فرمول و به رسمیت شناخته شدن نهایی آن در مجامع آکادمیک.[3]

معادله بلک-شولز ارزش منصفانه یک آپشن به سبک اروپایی را - که تنها در تاریخ دقیق انقضای خود قابل اعمال است - با استفاده از دقیقاً پنج ورودی محاسبه می‌کند. چهار مورد از این ورودی‌ها حقایق مستقیماً قابل مشاهده هستند: قیمت فعلی سهام پایه، قیمت اعمال قرارداد آپشن، زمان باقی‌مانده تا انقضا و نرخ بهره بدون ریسک.[2]

ورودی پنجم، نوسانات مورد انتظار دارایی است. از آنجا که این تنها پارامتر در معادله است که نمی‌توان آن را مستقیماً در بازار مشاهده کرد، کل فرمول بلک-شولز اساساً به عنوان یک مکانیسم ترجمه عمل می‌کند که برآورد ذهنی از تغییرات قیمت در آینده را به یک پرمیوم ملموس برای آپشن تبدیل می‌کند.[2][3]

برای درک نحوه تعامل این متغیرها، یک آپشن خرید (Call Option) اروپایی فرضی را روی سهامی در نظر بگیرید که در حال حاضر با قیمت ۱۵۰٫۰۰ دلار معامله می‌شود، با قیمت اعمال ۱۵۰٫۰۰ دلار و دقیقاً ۳۰ روز تا زمان انقضا. از آنجا که قیمت اعمال با قیمت سهام برابر است، این آپشن ۰٫۰۰ دلار ارزش ذاتی دارد. کل پرمیوم آن از ارزش زمانی (Extrinsic Value) تشکیل شده است که توسط زمان و نوسانات هدایت می‌شود.[4]

زمان تا انقضا، که به صورت کسری از یک سال ۳۶۵ روزه نشان داده می‌شود، احتمال سودآور شدن (In the Money) آپشن را تعیین می‌کند. با نزدیک شدن به تاریخ انقضا، این ارزش زمانی افت می‌کند. با این حال، این افت خطی نیست؛ بلکه در هفته‌ها و روزهای پایانی عمر قرارداد به سرعت شتاب می‌گیرد، پدیده‌ای که معامله‌گران آپشن آن را با حرف یونانی تتا (Theta) اندازه‌گیری می‌کنند.[2][4]

در همین حال، نوسانات، بزرگی نوسانات قیمتی مورد انتظار را اندازه‌گیری می‌کند. اگر بازار انتظار داشته باشد که سهام ۱۵۰٫۰۰ دلاری نوسانات سالانه ۲۵٫۰ درصدی را تجربه کند، مدل یک توزیع احتمال خاص از قیمت‌های آینده را در قیمت‌گذاری لحاظ می‌کند. از آنجا که نوسانات از نظر تئوری بدون مرز هستند، جهش ناگهانی در نوسانات ضمنی می‌تواند ارزش یک آپشن را سریع‌تر از آنکه افت زمانی آن را کاهش دهد، بالا ببرد.[2][4]

نرخ بهره بدون ریسک، که معمولاً با بازده اوراق قرضه دولتی مانند نرخ ۵٫۰ درصدی اوراق خزانه‌داری کوتاه‌مدت ایالات متحده سنجیده می‌شود، نقش کوچک‌تر اما از نظر ریاضی حیاتی ایفا می‌کند. نرخ بدون ریسک بالاتر، ارزش تئوریک یک آپشن خرید را افزایش می‌دهد، زیرا خرید آپشن در امروز هزینه کمتری نسبت به وام گرفتن سرمایه برای خرید مستقیم سهام پایه دارد.[2][4]

این فرمول برای محاسبه سود مرکب پیوسته، با فرض اینکه قیمت سهام پایه از یک حرکت براونی هندسی پیروی می‌کند، بر ثابت ریاضی e (تقریباً ۲٫۷۱۸۲۸) تکیه دارد. این بدان معناست که مدل فرض می‌کند قیمت سهام دارای توزیع لگاریتمی-نرمال است؛ یعنی نمی‌تواند به زیر ۰٫۰۰ دلار سقوط کند، اما از نظر تئوری می‌تواند تا بی‌نهایت رشد کند.[3]

با وجود پذیرش جهانی، مدل بلک-شولز بر اساس چندین فرض خشک عمل می‌کند که در معاملات دنیای واقعی با شکست مواجه می‌شوند. مهم‌ترین محدودیت آن، فرض ثابت ماندن کامل نوسانات در طول عمر آپشن است. در بازارهای واقعی، نوسانات ضمنی در قیمت‌های اعمال مختلف به طور قابل‌توجهی متفاوت است و یک «لبخند نوسانات» (Volatility Smile) ایجاد می‌کند که معادله اصلی سال ۱۹۷۳ قادر به محاسبه آن نیست.[2][3]

علاوه بر این، مدل فرض می‌کند که بازارهای کاملاً کارا با هزینه تراکنش صفر، بدون مالیات و با قابلیت وام گرفتن و وام دادن وجه نقد با نرخ ثابت بدون ریسک وجود دارند. این مدل همچنین فرض می‌کند که سهام پایه هیچ سود سهامی پرداخت نمی‌کند، اگرچه تغییرات بعدی مانند افزونه بلک-شولز-مرتون، ریاضیات را برای محاسبه بازده سود سهام تنظیم کردند.[2]

امروزه، معادله بلک-شولز همچنان پایه و اساس مهندسی مالی مدرن است. در حالی که میزهای معاملات الگوریتمی و صندوق‌های پوشش ریسک از مدل‌های پیچیده‌تر و با زمان گسسته مانند درخت دوجمله‌ای برای آپشن‌های به سبک آمریکایی استفاده می‌کنند، بینش‌های اصلی فرمول ۱۹۷۳ - به ویژه رابطه بین زمان، نوسانات و قیمت‌گذاری خنثی نسبت به ریسک - همچنان نحوه ارزش‌گذاری ریسک در بازار جهانی مشتقات را دیکته می‌کند.[2][3]