فرآیند تکرارپذیری که معادله قیمت اوراق قرضه را برای محاسبه بازده تا سررسید حل می‌کند

محدودیت الزام‌آوری که تمام ارزش‌گذاری‌های با درآمد ثابت را دیکته می‌کند این است که ارزش فعلی جریان‌های نقدی آتی یک اوراق قرضه باید دقیقاً برابر با قیمت فعلی آن در بازار باشد. اگر این برابری برقرار باشد، نرخ تنزیل واحدی که برای آن جریان‌های نقدی اعمال می‌شود، همان بازده تا سررسید (YTM) است.

با این حال، در حالی که پلتفرم‌های خرد و صفحات اکسل این رقم را در چند میلی‌ثانیه خروجی می‌دهند، یافتن این نرخ یک تمرین ساده جبری نیست. موسسه Financial Edge Training در این باره خاطرنشان می‌کند: «هیچ فرمول واحدی برای محاسبه بازده اوراق قرضه وجود ندارد. در عوض، یک برآورد با استفاده از یک فرآیند تکرارپذیر محاسبه می‌شود.»[4]

مانع ریاضی از خود ساختار معادله قیمت‌گذاری اوراق قرضه نشأت می‌گیرد. این فرمول، ارزش فعلی هر پرداخت دوره‌ای کوپن و بازپرداخت نهایی اصل سرمایه را جمع می‌بندد. برای یک اوراق خزانه استاندارد ۱۰ ساله که کوپن‌های شش‌ماهه پرداخت می‌کند، این امر معادله‌ای با ۲۰ جریان نقدی مجزا ایجاد می‌کند که هر کدام با یک ضریب مرکب از بازده به توان دوره تنزیل می‌شوند. این ساختار، یک معادله چندجمله‌ای از درجه ۲۰ را تشکیل می‌دهد.[1][2]

بر اساس قضیه آبل-روفینی (Abel-Ruffini)، هیچ راه‌حل جبری عمومی برای چندجمله‌ای‌های درجه پنج یا بالاتر وجود ندارد. در نتیجه، برای هر اوراق قرضه‌ای که بیش از چهار پرداخت باقیمانده دارد، از نظر ریاضی غیرممکن است که YTM را در یک طرف علامت مساوی جدا کرد. بازده را نمی‌توان به طور مستقیم محاسبه کرد؛ بلکه باید از طریق آزمون و خطا کشف شود.[2][5]

برای پر کردن این شکاف، سیستم‌های مالی از الگوریتم‌های عددی ریشه‌یابی، به ویژه روش نیوتن-رافسون (Newton-Raphson) استفاده می‌کنند. این تکنیک مبتنی بر حساب دیفرانسیل و انتگرال که در ابتدا توسط جوزف رافسون در سال ۱۶۹۰ برای تقریب ریشه‌های توابع با مقادیر حقیقی منتشر شد، به طور مکرر یک بازده حدس‌زده‌شده را اصلاح می‌کند تا زمانی که قیمت حاصل از آن با واقعیت بازار مطابقت پیدا کند.[5]

این فرآیند با یک بازده آزمایشی آغاز می‌شود؛ که اغلب همان نرخ کوپن اوراق قرضه یا یک تقریب ساده است. سیستم ارزش فعلی تمام جریان‌های نقدی را با استفاده از این نرخ آزمایشی محاسبه می‌کند. اگر قیمت محاسبه‌شده با قیمت واقعی بازار تفاوت داشته باشد، الگوریتم اندازه این خطا را اندازه‌گیری می‌کند.[3]

نبوغ روش نیوتن-رافسون در نحوه تعیین حدس بعدی نهفته است. این روش از مشتق اول تابع قیمت-بازده استفاده می‌کند که در امور مالی به عنوان دیرش تعدیل‌شده (modified duration) اوراق قرضه شناخته می‌شود. این مشتق، حساسیت دقیق قیمت اوراق قرضه را نسبت به یک تغییر حاشیه‌ای در بازده اندازه‌گیری می‌کند. با تقسیم خطای قیمت بر مشتق، الگوریتم دقیقاً محاسبه می‌کند که بازده آزمایشی برای تکرار بعدی چقدر باید تعدیل شود.[1][5]

مستندات LUSID، یک سیستم مدیریت پورتفوی مبتنی بر فضای ابری، توضیح می‌دهد: «محاسبه بازده تا سررسید (YTM) از روش تکرارپذیر نیوتن-رافسون برای یافتن بازدهی استفاده می‌کند که در آن ارزش فعلی (PV) واحد محاسبه‌شده با PV واحدِ ضمنیِ یک قیمت معین اوراق قرضه مطابقت داشته باشد. اگر PV واحد محاسبه‌شده با PV واحد هدف مطابقت نداشته باشد... آنگاه مقدار بازده آزمایشی طبق روش نیوتن تعدیل شده و محاسبه تکرار می‌شود.»[3]

این حلقه با سرعت محاسباتی ادامه می‌یابد. با هر تکرار، بازده آزمایشی به YTM واقعی نزدیک‌تر می‌شود. این فرآیند تنها زمانی خاتمه می‌یابد که قیمت محاسبه‌شده با قیمت بازار در یک محدوده تحمل دقیق مطابقت داشته باشد؛ که همان‌طور که در معماری LUSID مشخص شده، اغلب تا ۹ رقم اعشار است. برای یک اوراق قرضه شرکتی استاندارد، این همگرایی معمولاً به کمتر از پنج تکرار نیاز دارد.[3]

دقت این ریاضیات تکرارپذیر، زیربنای کل بازار ۱۳۰ تریلیون دلاری اوراق قرضه جهانی است. میزهای معاملاتی نهادی برای قیمت‌گذاری مشتقات با درآمد ثابت، پوشش ریسک نرخ بهره و اجرای استراتژی‌های آربیتراژ به این الگوریتم‌ها متکی هستند؛ جایی که اختلاف تنها یک نقطه پایه (۰٫۰۱٪) می‌تواند به معنای میلیون‌ها دلار سود یا زیان باشد.[6]

با این حال، دقت این محاسبه، یک آسیب‌پذیری اساسی را در خود این معیار پنهان می‌کند. کل فرآیند تکرارپذیر فرض می‌کند که هر پرداخت کوپن آتی دقیقاً با همان YTM محاسبه‌شده مجدداً سرمایه‌گذاری خواهد شد. در یک محیط پویای نرخ بهره، این فرض تقریباً هرگز صادق نیست؛ به این معنی که بازده از نظر ریاضی بی‌نقصی که توسط الگوریتم کشف می‌شود، به ندرت همان بازده واقعی است که توسط سرمایه‌گذار محقق می‌شود.[4][6]