چرا در نسبت شارپ، انحراف معیار بازده در مخرج کسر قرار می‌گیرد، نه واریانس

مدیران نهادی سبدهای سرمایه‌گذاری و سرمایه‌گذاران خرد با ارزیابی عملکرد تعدیل‌شده با ریسک، جریان ورود سرمایه را هدایت می‌کنند؛ تصمیمی که هر بار هنگام بازتعادل یک صندوق آن را اجرا می‌کنند. این امانت‌داران هنگام تخصیص میلیاردها دلار در سهام و اوراق با درآمد ثابت، باید دقیقاً کمیت‌سنجی کنند که در ازای هر واحد نوسانی که می‌پذیرند، چه مقدار بازده مازاد استخراج می‌کنند. ابزار اصلی برای این تصمیم‌گیری نسبت شارپ است که توسط برنده جایزه نوبل، ویلیام اف. شارپ در سال ۱۹۶۶ توسعه یافت و در سال ۱۹۹۴ بازنگری شد.[4][6]

این فرمول، نرخ بدون ریسک — معمولاً بازده اسناد خزانه ۳ ماهه ایالات متحده، که در اوایل سال ۲۰۲۶ نزدیک به ۵٫۲۵ درصد بود — را از بازده کلی سبد سرمایه‌گذاری کم می‌کند. سپس این بازده مازاد به‌جای واریانس، بر انحراف معیار سبد تقسیم می‌شود. اگرچه واریانس و انحراف معیار هر دو پراکندگی از میانگین را اندازه‌گیری می‌کنند، اما در مقیاس‌های ریاضی کاملاً متفاوتی عمل می‌کنند.[2][3]

واریانس با به توان دو رساندن انحرافات از میانگین بازده محاسبه می‌شود. اگر دارایی بازدهی داشته باشد که ۱۵ درصد انحراف داشته باشد، واریانس آن ۲۲۵ است. از آنجا که ورودی‌ها به توان دو می‌رسند، واحد حاصل «درصد مربع» (درصد به توان دو) است؛ یک انتزاع ریاضی که نمی‌تواند مستقیماً با یک بازده درصدی خطی مقایسه شود.[1][5]

انحراف معیار این عدم تطابق ابعادی را با گرفتن جذر واریانس حل می‌کند و معیار ریسک را به واحد پایه اصلی یعنی درصد برمی‌گرداند. شارپ در مقاله بنیادین خود در دانشگاه استنفورد با تاکید بر اینکه واحدهای صورت و مخرج باید کاملاً هم‌تراز باشند، خاطرنشان کرد: «نسبت شارپ برای اندازه‌گیری بازده مورد انتظار در ازای هر واحد ریسک برای یک استراتژی سرمایه‌گذاری صفر طراحی شده است.»[4]

اگر یک مدیر سبد سرمایه‌گذاری از واریانس به‌عنوان مخرج استفاده کند، جریمه ریسک به‌جای خطی، به‌صورت درجه‌دوم مقیاس‌بندی می‌شود. صندوقی را در نظر بگیرید که بازده مازاد ۱۰ درصدی با انحراف معیار ۱۵ درصدی ایجاد می‌کند. بر اساس فرمول استاندارد شارپ، این نسبت عدد قابل‌قبول ۰٫۶۶ است. اگر بر واریانس ۲۲۵ تقسیم شود، این نسبت به ۰٫۰۴۴ سقوط می‌کند و کارایی درک‌شده دارایی را به‌شدت مخدوش می‌سازد.[2][6]

این جریمه غیرخطی به‌طور سیستماتیک تخصیص سرمایه را به‌سمت دارایی‌های با نوسان بسیار پایین سوق می‌دهد. یک صندوق اوراق قرضه با بازده مازاد ۲ درصد و انحراف معیار ۴ درصد، نسبت شارپ ۰٫۵۰ را به دست می‌دهد. اگر از واریانس (۱۶) استفاده می‌شد، این نسبت ۰٫۱۲۵ می‌بود. محاسبه مبتنی بر واریانس به‌اشتباه صندوق اوراق قرضه با بازده پایین‌تر (۰٫۱۲۵) را بسیار برتر از صندوق سهام (۰٫۰۴۴) رتبه‌بندی می‌کرد، با وجود اینکه صندوق سهام مبادله خطی ریسک و بازده بهتری را ارائه می‌دهد.[1][5]

تحلیلگران چارلز شواب تاکید می‌کنند که این مقیاس‌بندی خطی دلیلی است که انحراف معیار همچنان بستر اصلی گزارش‌دهی عملکرد باقی مانده است. با نگه داشتن ریسک در همان واحد بازده، نسبت شارپ به یک مدیر ثروت اجازه می‌دهد تا به‌طور قطعی بیان کند که آیا یک استراتژی فعال واقعاً بر اساس تعدیل ریسک، از یک شاخص مبنای غیرفعال عملکرد بهتری دارد یا خیر.[3]

با این حال، تحلیلگران کمی (کوانت) اغلب در مورد محدودیت‌های خود انحراف معیار بحث می‌کنند. بحث‌ها در پلتفرم Quantitative Finance Stack Exchange نشان می‌دهد که انحراف معیار، توزیع نرمال بازده را فرض می‌کند و نوسانات صعودی و نوسانات نزولی را به‌یک‌اندازه جریمه‌کننده در نظر می‌گیرد.[1]

در واقعیت، بازارهای مالی دارای «دنباله‌های پهن» هستند، به این معنی که رویدادهای منفی شدید بیشتر از آنچه یک توزیع نرمال پیش‌بینی می‌کند، رخ می‌دهند. در طول بحران مالی ۲۰۰۸ یا سقوط همه‌گیری ۲۰۲۰، سبدهای سرمایه‌گذاری افت‌هایی را تجربه کردند که مدل‌های انحراف معیار آن‌ها را از نظر آماری غیرممکن دسته‌بندی می‌کردند و این امر نقطه کوری را در چارچوب‌های سنتی میانگین-واریانس آشکار کرد.[1][5]

برای رفع این مشکل، پلتفرم‌هایی مانند Quantt بر معیارهای جایگزینی مانند نسبت سورتینو تاکید می‌کنند. نسبت سورتینو چارچوب شارپ را با جایگزین کردن انحراف معیار کل با انحراف نزولی اصلاح می‌کند و تنها نوساناتی را جریمه می‌کند که منجر به زیان می‌شوند، نه نوساناتی که سودهای غیرمنتظره ایجاد می‌کنند.[2]

با وجود این نقدهای ساختاری، اتکای نسبت شارپ به انحراف معیار به‌دلیل سادگی و سازگاری واحدها، همچنان استاندارد صنعت باقی مانده است. این نسبت یک زبان جهانی برای ریسک فراهم می‌کند که به یک صندوق بازنشستگی در توکیو اجازه می‌دهد تا یک صندوق پوشش ریسک در نیویورک را با استفاده از همان مبنای ریاضی دقیق ارزیابی کند.[3][6]

از آنجا که معاملات الگوریتمی و سیستم‌های بازتعادل خودکار به‌طور فزاینده‌ای بر حجم بازار در سال ۲۰۲۶ تسلط دارند، تعاریف دقیق ریاضی این ورودی‌های ریسک، میلیاردها دلار جریان روزانه را دیکته می‌کنند. انتخاب مخرج صرفاً یک ترجیح آکادمیک نیست؛ بلکه آستانه مکانیکی است که تعیین می‌کند آیا یک استراتژی بودجه دریافت می‌کند یا با انحلال مواجه می‌شود.[6]