قانون ۷۲: چگونه زمان دو برابر شدن سرمایه را سریع محاسبه کنیم؟

در سال ۱۴۹۴، در یک چاپخانه ونیزی، لوکا پاچیولی (Luca Pacioli)، راهب فرانسیسکن و ریاضیدان، کتاب «خلاصه ریاضیات» (Summa de arithmetica) را منتشر کرد که چکیده‌ای جامع از ریاضیات دوران رنسانس بود. در لابه‌لای صفحات این کتاب، پاچیولی یک میان‌بر عجیب برای تاجرانی که سود مرکب را محاسبه می‌کردند، ثبت کرد: تقسیم عدد ۷۲ بر نرخ بهره سالانه، تعداد سال‌های تقریبی مورد نیاز برای دو برابر شدن سرمایه اولیه را به دست می‌دهد.[8]

بیش از پنج قرن بعد، این ترفند همچنان به عنوان محاسبات ذهنی بنیادین در مالیه مدرن شناخته می‌شود. سرمایه‌گذاری که بازده سالانه ۸ درصدی را تضمین می‌کند، می‌تواند با تقسیم ۷۲ بر هشت متوجه شود که سرمایه‌اش دقیقاً در ۹ سال دو برابر خواهد شد. در مقابل، وام‌گیرنده‌ای که بدهی کارت اعتباری با نرخ بهره ۲۴ درصدی دارد، در صورت عدم پرداخت، بدهی‌اش تنها در عرض سه سال دو برابر می‌شود.[4][7]

قانون ۷۲ به عنوان یک تقریب خطی از یک تابع لگاریتمی عمل می‌کند. فرمول دقیق برای محاسبه زمان دو برابر شدن سود مرکب، نیازمند تقسیم لگاریتم طبیعی عدد ۲ (که تقریباً ۰٫۶۹۳ است) بر لگاریتم طبیعی یک به‌علاوه نرخ بهره است. برای یک سرمایه‌گذار خرد معمولی، محاسبه این نسبت دقیق بدون ماشین‌حساب مهندسی تقریباً غیرممکن است.[2]

در حالی که عدد ۶۹٫۳ صورت‌کسر دقیق ریاضی را برای ترکیب پیوسته فراهم می‌کند، عدد ۷۲ به دلیل قابلیت تقسیم‌پذیری استثنایی‌اش پذیرفته شد. هفتاد و دو به‌راحتی بر ۲، ۳، ۴، ۶، ۸، ۹ و ۱۲ بخش‌پذیر است؛ اعدادی که رایج‌ترین نرخ‌های بهره در بانکداری سنتی و بازده بازار هستند.[1][6]

تحلیل فکت‌لن (Factlen) از این فرمول در محیط‌های بازدهی مختلف نشان می‌دهد که این تقریب در کجا بیشترین دقت را دارد. دقیقاً در نرخ بهره ۸ درصدی، قانون ۷۲ عدد ۹٫۰۰ سال را به دست می‌دهد که تقریباً به‌طور کامل با محاسبه دقیق لگاریتمی یعنی ۹٫۰۰۶ سال همخوانی دارد.[8]

با دور شدن نرخ‌های بهره از لنگر ۸ درصدی، دقت این قانون کاهش می‌یابد. در بازده ۱۲ درصدی، قانون ۷۲ زمان دو برابر شدن را ۶ سال تخمین می‌زند، در حالی که فرمول دقیق عدد ۶٫۱۱ سال را دیکته می‌کند؛ یعنی حدود ۴۰ روز تخمین کمتر. در نرخ پایین‌تر ۴ درصدی، این قانون ۱۸ سال را تخمین می‌زند که چهار ماه کمتر از زمان‌بندی واقعی ۱۷٫۶۷ ساله است.[2][8]

برنامه‌ریزان مالی از این قانون در درجه اول برای نشان دادن قدرت سود مرکب به مشتریان خرد استفاده می‌کنند. مشاوران با نشان دادن اینکه یک سرمایه‌گذاری ۱۰,۰۰۰ دلاری با بازده ۷٫۲ درصدی در ۱۰ سال به ۲۰,۰۰۰ دلار، در ۲۰ سال به ۴۰,۰۰۰ دلار و در ۳۰ سال به ۸۰,۰۰۰ دلار رشد خواهد کرد، می‌توانند هزینه فرصتِ به تعویق انداختن پس‌انداز بازنشستگی را کمّی‌سازی کنند.[3]

این ترفند به همان اندازه برای انباشت بدهی‌ها نیز صدق می‌کند. برنامه ترویجی دانشگاه ایلینوی (University of Illinois) تأکید می‌کند که قانون ۷۲ می‌تواند به عنوان یک هشدار جدی برای مصرف‌کنندگانی که بدهی‌های با بهره بالا دارند، عمل کند. یک تراز ۵,۰۰۰ دلاری در کارت اعتباری با بهره سالانه ۱۸ درصد، در صورت عدم پرداخت، دقیقاً در چهار سال به ۱۰,۰۰۰ دلار تبدیل خواهد شد.[7]

فراتر از بازده اسمی، این قانون به عنوان معیاری برای فرسایش قدرت خرید نیز عمل می‌کند. مصرف‌کنندگان با تقسیم عدد ۷۲ بر نرخ تورم سالانه، می‌توانند زمان نصف شدن ارزش پول فیات خود را محاسبه کنند. با میانگین تاریخی نرخ تورم ۳ درصدی، ارزش واقعی پول نقدِ سرمایه‌گذاری‌نشده هر ۲۴ سال به نصف کاهش می‌یابد.[5]

برای سرمایه‌گذارانی که به دقت بالاتری نیاز دارند، به‌ویژه در محیط‌های با نرخ بهره پایین، تحلیلگران مالی گاهی قانون ۷۰ یا قانون ۶۹٫۳ را جایگزین قانون ۷۲ می‌کنند. قانون ۶۹٫۳ به‌طور خاص برای ترکیب پیوسته استفاده می‌شود، در حالی که قانون ۷۲ دوره‌های ترکیب سالانه را فرض می‌گیرد.[1][2]

سرمایه‌گذاران نهادی و پیش‌بینی‌کنندگان اقتصاد کلان از این قانون برای پیش‌بینی رشد تولید ناخالص داخلی استفاده می‌کنند. یک کشور در حال توسعه که اقتصاد خود را سالانه ۶ درصد رشد می‌دهد، خروجی اقتصادی خود را در ۱۲ سال دو برابر خواهد کرد و جایگاه ژئوپلیتیکی و مصرف منابع خود را به‌طور بنیادین تغییر خواهد داد.[4]

اگرچه معاملات الگوریتمی و نرم‌افزارهای مدل‌سازی مالی، محاسبات دستی را در وال استریت منسوخ کرده‌اند، اما قانون ۷۲ همچنان به عنوان یک ابزار شناختی حیاتی پابرجا است. در حالی که مشارکت خرد در بازارهای سهام در سال ۲۰۲۶ به رکوردهای جدیدی می‌رسد، سرعت ترکیب سود همچنان عامل تعیین‌کننده در ثروت بلندمدت است. شاید فرمول دقیق لگاریتمی بر اتاق‌های پایاپای حاکم باشد، اما این ترفند ۵۰۰ ساله هنوز هم شهود سرمایه‌گذار را هدایت می‌کند.[3][8]