چرا قضیه عدم امکان آرو حکم می‌کند که هیچ سیستم رأی‌گیری ترجیحی نمی‌تواند تمام معیارهای انصاف را همزمان برآورده کند

هر بار که شما در یک انتخابات محلی یا ملی رأی ترجیحی رتبه‌بندی‌شده می‌دهید، در حال شرکت در یک مصالحه ریاضی هستید که از پیش تصمیم گرفته است کدام آرمان دموکراتیک باید قربانی شود. این فرض که یک جامعه می‌تواند ترجیحات فردی را به طور کامل در یک تصمیم جمعی واحد و منصفانه تجمیع کند، از نظر ریاضی نادرست است. این نه یک شکست سیاسی یا نتیجه قطب‌بندی حزبی، بلکه یک مرز ساختاری است که توسط اقتصاددانان اثبات شده است.[7]

این مرز در سال ۱۹۵۱ توسط اقتصاددان آمریکایی، کنت جی. آرو (Kenneth J. Arrow)، در کتابش با عنوان «انتخاب اجتماعی و ارزش‌های فردی» تعریف شد. آرو نشان داد که وقتی رأی‌دهندگان با سه یا چند گزینه روبرو هستند، هیچ سیستم رأی‌گیری رتبه‌بندی‌شده‌ای نمی‌تواند ترجیحات فردی آن‌ها را به یک رتبه‌بندی جمعی تبدیل کند، در حالی که مجموعه‌ای مشخص از شرایط اساسی انصاف را برآورده سازد.[1][4]

آرو، که در سال ۱۹۷۲ به خاطر این کار جایزه یادبود نوبل در علوم اقتصادی را دریافت کرد، پنج معیار را تعیین کرد که هر سیستم دموکراتیک منطقی و منصفانه‌ای باید از نظر تئوری آن‌ها را داشته باشد. اولین معیار، «دامنه نامحدود» (Unrestricted Domain) است، به این معنی که سیستم باید بتواند هر ترکیبی از ترجیحات رأی‌دهندگان را بدون از کار افتادن پردازش کند. دومین معیار، «ترتیب اجتماعی» (Social Ordering) است که ایجاب می‌کند سیستم یک رتبه‌بندی واضح از بهترین تا بدترین را ارائه دهد و از گره‌های بی‌پایان یا چرخه‌های تکراری اجتناب کند.[1][3]

معیار سوم، اصل «پارتوی ضعیف» (Weak Pareto) است. این اصل به سادگی حکم می‌کند که اگر هر رأی‌دهنده‌ای نامزد الف را به نامزد ب ترجیح دهد، رتبه‌بندی نهایی اجتماعی نیز باید الف را بالاتر از ب قرار دهد. چهارمین معیار، «عدم دیکتاتوری» (Non-Dictatorship) است که تضمین می‌کند ترجیحات هیچ رأی‌دهنده واحدی، صرف نظر از خواست دیگران، نتیجه را دیکته نکند.[1][4]

معیار نهایی و بحث‌برانگیزترین آن‌ها، «استقلال از گزینه‌های نامربوط» (Independence of Irrelevant Alternatives یا IIA) است. این اصل بیان می‌کند که ترجیح جمعی بین دو نامزد باید تنها به نحوه رتبه‌بندی آن دو نامزد خاص توسط رأی‌دهندگان بستگی داشته باشد، نه به نحوه رتبه‌بندی آن‌ها برای یک گزینه سوم و نامرتبط. اگر جامعه الف را به ب ترجیح می‌دهد، معرفی ناگهانی نامزد جدیدی به نام ج نباید باعث شود که جامعه ناگهان ب را به الف ترجیح دهد.[1][6]

قضیه عدم امکان آرو ثابت می‌کند که این پنج شرط، متقابلاً انحصاری هستند. اگر یک سیستم رأی‌گیری چهار معیار اول را برآورده کند، ناگزیر «استقلال از گزینه‌های نامربوط» را نقض خواهد کرد. و اگر این سیستم، معیار IIA و سایر معیارها را برآورده کند، باید یک دیکتاتوری باشد.[1][5]

ریشه این عدم امکان به سال ۱۷۸۵ بازمی‌گردد، زمانی که مارکی دو کُندورسه (Marquis de Condorcet) پارادوکس رأی‌گیری را کشف کرد. کُندورسه متوجه شد که ترجیحات اکثریت می‌توانند غیرمنطقی باشند، حتی زمانی که رأی‌دهندگان فردی کاملاً منطقی هستند. اگر یک سوم از رأی‌دهندگان نامزد س را به ص و ص را به ع ترجیح دهند، یک سوم دیگر ص را به ع و ع را به س ترجیح دهند، و یک سوم نهایی ع را به س و س را به ص ترجیح دهند، یک کابوس ساختاری پدیدار می‌شود.[3]

در این سناریوی دقیق، اکثریت دو سومی، س را به ص ترجیح می‌دهند؛ اکثریت دو سومی، ص را به ع ترجیح می‌دهند؛ و اکثریت دو سومی، ع را به س ترجیح می‌دهند. نتیجه یک چرخه است که در آن هیچ نامزدی نمی‌تواند به طور قطعی در رقابت‌های رو در رو در برابر همه دیگران پیروز شود. پارادوکس کُندورسه نشان داد که رأی‌گیری اکثریت جفتی، معیار «ترتیب اجتماعی» را نقض می‌کند، زیرا نمی‌تواند یک نتیجه متعدی (Transitive) تولید کند.[3][5]

سیستم‌های انتخاباتی مدرن تلاش می‌کنند این پارادوکس را دور بزنند، اما قضیه آرو تضمین می‌کند که آن‌ها تنها یک نقص را با نقص دیگری معاوضه می‌کنند. رأی‌گیری کثرت (Plurality voting)، که در آن شهروندان صرفاً یک نامزد را انتخاب می‌کنند، مکرراً «استقلال از گزینه‌های نامربوط» را نقض می‌کند؛ زیرا به نامزدهای مفسد (spoiler candidates) اجازه می‌دهد آرا را تقسیم کرده و نتیجه بین پیشتازان را تغییر دهند.[4][5]

رأی‌گیری ترجیحی رتبه‌بندی‌شده، به ویژه روش «حذف فوری» (instant-runoff) که توسط چندین شهرداری پذیرفته شده است، اثر نامزد مفسد را در بسیاری از سناریوها حل می‌کند، اما همچنان از نظر ریاضی IIA را نقض می‌کند. تحت قوانین حذف فوری، حذف یک نامزد جزئی می‌تواند توالی انتقال آرا را به گونه‌ای تغییر دهد که جایگاه نسبی نامزدهای باقی‌مانده دگرگون شود؛ به این معنی که حضور یک گزینه نامربوط همچنان پیروز نهایی را تعیین می‌کند.[5]

روش «شمارش بوردا» (Borda count)، که یک جایگزین پیشنهادی دیگر است و در آن رأی‌دهندگان بر اساس رتبه خود به نامزدها امتیاز می‌دهند—مثلاً ۳ امتیاز برای نفر اول، ۲ امتیاز برای نفر دوم، و ۱ امتیاز برای نفر سوم—نیز IIA را نقض می‌کند. از آنجا که ارزش‌های امتیازی نسبت به تعداد کل نامزدها نسبی هستند، افزودن یا حذف یک نامزد، وزن ریاضی هر رتبه‌بندی دیگری در برگه رأی را تغییر می‌دهد.[3][5]

چارچوب آرو به شدت بر این فرض تکیه دارد که رأی‌دهندگان تنها می‌توانند اطلاعات ترتیبی (Ordinal) ارائه دهند—یعنی نامزدها را اول، دوم و سوم رتبه‌بندی کنند—بدون اندازه‌گیری شدت آن ترجیحات. همانطور که خود آرو نوشت: «مقایسه بین فردی مطلوبیت‌ها معنایی ندارد و... هیچ معنای مرتبطی برای مقایسه‌های رفاهی در قابلیت اندازه‌گیری مطلوبیت فردی وجود ندارد.»[3]

این رویکرد سختگیرانه ترتیبی است که قضیه را تا این حد مطلق می‌سازد. با امتناع از سنجش اینکه یک رأی‌دهنده چقدر انتخاب اول خود را نسبت به انتخاب دومش دوست دارد، سیستم نسبت به شدت ترجیح کور است. برخی اقتصاددانان استدلال می‌کنند که این محدودیت، نقص واقعی است و پیشنهاد می‌کنند که سیستم‌های رأی‌گیری «کاردینال» (Cardinal)—که در آن رأی‌دهندگان نامزدها را در مقیاس ۱ تا ۱۰ رتبه‌بندی می‌کنند—می‌توانند به طور کامل محدودیت‌های آرو را دور بزنند، زیرا به رتبه‌بندی‌های نسبی متکی نیستند.[1][6]

با این حال، در قلمرو ترجیحات رتبه‌بندی‌شده، عدم امکان مطلق باقی می‌ماند. همانطور که قضیه حکم می‌کند، هر روشی که از انتخاب‌های رتبه‌بندی‌شده رأی‌دهندگان برای تعیین یک برنده واحد در انتخابات استفاده کند، حداقل یکی از معیارهای انصاف را نقض خواهد کرد. در نتیجه، در هر انتخاباتی، یک نامزد بازنده می‌تواند به یک ویژگی ریاضی خاص در سیستم رأی‌گیری اشاره کند و به درستی ادعا کند که نتیجه از نظر ساختاری ناعادلانه است.[5]

میراث ماندگار قضیه آرو این نیست که دموکراسی بیهوده است، بلکه این است که طراحی انتخابات، تمرینی در انتخاب نقص‌هایی است که یک جامعه مایل به تحمل آن‌هاست. سیاست‌گذاران باید تصمیم بگیرند که آیا جلوگیری از نامزدهای مفسد، تضمین اجماع اکثریت، یا حفظ تعدی سختگیرانه مهم‌تر است، در حالی که می‌دانند دستیابی همزمان به همه آن‌ها یک خیال ریاضی است.[1][7]