قضیه عدم امکان ارو: چرا هیچ سیستم رای‌گیری نمی‌تواند همزمان عادلانه و منطقی باشد

در سال ۱۹۳۱، قضیه ناتمامیت کورت گودل ثابت کرد که ریاضیات نمی‌تواند همزمان سازگار و کامل باشد. بیست سال بعد، در سال ۱۹۵۱، کنت ارو (Kenneth Arrow)، اقتصاددان، دقیقاً همین موضوع را برای دموکراسی اثبات کرد: یک انتخابات کاملاً عادلانه از نظر ریاضی غیرممکن است. تفاوت در اینجاست که اگرچه اثبات گودل فیزیک نظری و منطق را دگرگون کرد، اما قضیه ارو نحوه انتخاب هر هیئت‌مدیره مدرسه، شورای شهر و دولت ملی را دیکته می‌کند. ما سرمایه سیاسی خود را صرف بحث بر سر این می‌کنیم که کدام سیستم رای‌گیری عادلانه‌تر است، در حالی که ریاضیات به صراحت تضمین می‌کند که تک‌تک آن‌ها دارای نقص ساختاری هستند.[3][4]

فرض اساسی قضیه عدم امکان ارو، که در بازنمایی‌های اخیر و بررسی‌شده توسط همتایان کاملاً فرموله شده، این است که هر سیستم رای‌گیری برای اینکه منطقی و عادلانه تلقی شود، باید پنج اصل اساسی را برآورده کند. اول، عدم دیکتاتوری: هیچ رای‌دهنده واحدی حق تعیین نتیجه را ندارد. دوم، کارایی پارتو: اگر تک‌تک رای‌دهندگان نامزد الف را به نامزد ب ترجیح دهند، نامزد الف باید پیروز شود.[2][4]

اصل سوم دامنه نامحدود است: رای‌دهندگان باید مجاز باشند نامزدها را به هر ترتیبی که می‌خواهند رتبه‌بندی کنند. چهارم تعدی‌پذیری است: اگر گروه الف را به ب، و ب را به ج ترجیح دهد، گروه باید الف را به ج ترجیح دهد. در نهایت، استقلال گزینه‌های نامربوط (IIA): اگر الف در حال حاضر از ب جلوتر است، ورود نامزد سوم، یعنی ج، نباید ناگهان باعث پیروزی ب شود.[4][5]

اثبات ریاضی ارو، که برای او جایزه نوبل را به ارمغان آورد، نشان می‌دهد به محض اینکه یک انتخابات دارای سه نامزد یا بیشتر باشد، هیچ سیستم رای‌گیری ترجیحی نمی‌تواند هر پنج اصل را همزمان برآورده کند. همان‌طور که موسسه ریاضیات و دموکراسی در چارچوب سال ۲۰۲۱ خود درباره نظریه انتخاب اجتماعی تشریح کرد، شما می‌توانید چهار شرط را داشته باشید، اما شرط پنجم همیشه نقض خواهد شد.[4][5]

این یک شکست سیاسی نیست؛ بلکه یک مرز ساختاری است. بیل بلک در سال ۲۰۱۷ در مقاله‌ای برای Naked Capitalism، این موضوع را قضیه عدم امکان «نادیده‌گرفته‌شده» کنت ارو توصیف کرد و خاطرنشان ساخت که جامعه مدام تلاش می‌کند سیستم‌های انتخاباتی بی‌نقصی طراحی کند، بدون آنکه این سقف ریاضی را بپذیرد. اگر شما خواهان تعدی‌پذیری، کارایی پارتو، دامنه نامحدود و استقلال گزینه‌های نامربوط هستید، ریاضیات دیکته می‌کند که تنها سیستمی که کار می‌کند، یک دیکتاتوری است.[6]

از آنجا که دیکتاتوری اصل اول را نقض می‌کند، سیستم‌های دموکراتیک باید یکی از چهار اصل دیگر را فدا کنند. نشریه Daily Economy در سرمقاله‌ای در سال ۲۰۱۹ با عنوان «موجودی به نام مردم وجود ندارد»، بار فلسفی این موضوع را به خوبی به تصویر کشید. این قضیه ثابت می‌کند که یک گروه جمعی دارای یک اراده واحد و منسجم نیست؛ بلکه تنها یک روش تجمیع دارد و هر روشی، انحراف و تحریف متفاوتی ایجاد می‌کند.[7]

سیستم نخست‌نفری (اکثریت نسبی)، یعنی سیستمی که در بیشتر انتخابات ایالات متحده استفاده می‌شود، استقلال گزینه‌های نامربوط را فدا می‌کند. این امر اثر نامزد خرابکار (spoiler effect) را ایجاد می‌کند. اگر یک نامزد از حزب سوم وارد رقابت شود، می‌تواند آرای نامزد اصلی را که از نظر ایدئولوژیک به او نزدیک‌تر است، جذب کند و باعث شود نامزدی که کمترین محبوبیت را نزد اکثریت دارد، پیروز شود. ریاضیات تضمین می‌کند که هرگاه سه گزینه وجود داشته باشد، این آسیب‌پذیری نیز وجود خواهد داشت.[5][8]

رای‌گیری ترجیحی تلاش می‌کند این مشکل را با اجازه دادن به رای‌دهندگان برای فهرست کردن ترجیحات خود، حذف ضعیف‌ترین نامزد و توزیع مجدد آرا برطرف کند. با این حال، همان‌طور که محققان در مقایسه قضایای ارو و گودل در پایگاه arXiv اشاره کرده‌اند، رای‌گیری ترجیحی اصل تعدی‌پذیری و یکنوایی را فدا می‌کند. در موارد استثنایی و خاص ریاضی، رتبه‌بندی بالاتر یک نامزد در برگه رای شما می‌تواند در واقع باعث شکست او در انتخابات شود.[3][8]

شمارش بوردا، که در آن رای‌دهندگان بر اساس رتبه به نامزدها امتیاز می‌دهند، اصل تعدی‌پذیری را برآورده می‌کند اما استقلال گزینه‌های نامربوط را حتی فاجعه‌بارتر از سیستم اکثریت نسبی نقض می‌کند. یک رای‌دهنده می‌تواند به طور استراتژیک به یک رقیب قدرتمند رتبه پایینی بدهد تا شانس نامزد محبوب خود را افزایش دهد؛ این یعنی حضور یک نامزد ضعیف سوم، فاصله امتیازی بین دو نفر اول را کاملاً تغییر می‌دهد.[2][5]

حتی معیارهای اقتصادی نیز با این محدودیت‌های تجمیع دست و پنجه نرم می‌کنند. تحلیل سال ۲۰۲۶ مجله TIME درباره اینکه چرا رشد اقتصادی نیازمند اندازه‌گیری چیزی فراتر از تولید ناخالص داخلی است، مشکل تجمیع مشابهی را برجسته می‌کند: ترکیب میلیون‌ها واقعیت مالی فردی در یک معیار ملی واحد، ذاتاً تجربه زیسته افراد حاشیه‌ای را تحریف می‌کند. نظریه انتخاب اجتماعی دقیقاً همین محدودیت ریاضی را در مورد برگه‌های رای اعمال می‌کند.[1][5]

ارزش قضیه ارو در ترویج پوچ‌گرایی نیست، بلکه در شفافیت است. زمانی که سیاست‌گذاران بپذیرند که یک سیستم رای‌گیری بی‌نقص از نظر ریاضی غیرممکن است، بحث از جستجوی کمال، به انتخاب اینکه جامعه حاضر است کدام نقص خاص را بیشتر تحمل کند، تغییر می‌یابد. انتخاب یک سیستم رای‌گیری، در واقع تنها انتخاب این است که کدام اصل را باید رها کرد.[6][7]