ثابت‌های دلخواه در رگرسیون‌های لگاریتمی کشش‌ها را تغییر می‌دهند؛ ضرورت برآورد در سطوح اولیه با شبه‌درست‌نمایی پیوسته پوآسون

هنگامی که تحلیل‌گر برای فرار از تعریف‌نشدگی لگاریتمِ صفر، یک واحد دلخواه به داده‌ها اضافه می‌کند، صرفاً با تغییر واحد پول ممکن است مقدار کشش برآوردشده را بیش از ۵۰ درصد جابه‌جا کند. ریشهٔ این اعوجاج، در خودِ سازوکار واحدهای اندازه‌گیری نهفته است.

عدد ثابت ۱ در یک پایگاه داده معادل یک دلار است، اما با تبدیل عنوان ستون به «میلیون دلار»، همان عدد معنای یک میلیون دلار پیدا می‌کند. این آسیب‌پذیری ریاضیاتی بی‌سروصدا مدل‌های رگرسیونی را در اقتصاد و سلامت عمومی دچار خطا می‌کند؛ پژوهشگران دهه‌ها صرفاً برای اینکه داده‌ها را وارد قالب خطی کنند، از این ناپایداری مقیاس چشم‌پوشی کرده‌اند.

تبدیل لگاریتمی ابزار محبوب آمار کاربردی است، زیرا به ما امکان می‌دهد ضرایب را به‌سادگی به عنوان کشش یا درصد تغییر تفسیر کنیم. اما لگاریتم صفر از نظر ریاضیاتی تعریف‌نشده است؛ وضعیتی که در مجموعه داده‌هایی که عدد صفر پیامدی واقعی و پرتکرار است، بن‌بستی ساختاری ایجاد می‌کند.

به عنوان نمونه در تجارت بین‌الملل، حجم مبادلات میان بسیاری از جفت‌کشورها صفر است چون تبادل کالایی ندارند. حذف کل این صفرها بخشی از واقعیت را دور می‌ریزد و تورش انتخاب نمونه ایجاد می‌کند. پژوهشگران سنتاً برای اینکه این مشاهدات صفر از دست نروند، عددی ثابت و کوچک به همهٔ مقادیر اضافه می‌کردند و سپس لگاریتم می‌گرفتند.

راه‌حل به ظاهر بی‌خطر log(y+1) پایایی مقیاس را که شرط بنیادین برآورد درست کشش است، می‌شکند. اگر تجارت بر حسب تک‌دلار سنجیده شود، افزودن عدد یک تنها مقدار صفر را به یک دلار می‌رساند که در برابر ارقام چندمیلیونی اثر چندانی ندارد.

سازوکار اعوجاج مقیاس در داده‌ها

اما فاجعه از جایی آغاز می‌شود که همان داده‌ها را در مقیاسی دیگر تعریف کنیم؛ اگر ارقام به میلیون دلار ثبت شوند، افزودن عدد یک به داده‌های صفر یعنی عملاً یک میلیون دلار وارد پایهٔ محاسبات کرده‌ایم. وزن این عدد ثابت بسته به مقیاس متغیر، کاملاً عوض می‌شود.

از آنجا که این عدد ثابت با داده‌ها هم‌مقیاس نمی‌شود، کشش‌های برآوردشده به‌جای بازتاب دادن رفتار اقتصادی، بازیچهٔ واحد اندازه‌گیری می‌شوند. داده‌هایی کاملاً یکسان تنها به‌دلیل اینکه بر حسب واحد یا هزار واحد ثبت شده‌اند، ضرایب آماری متفاوتی تولید خواهند کرد.

این شکاف تئوریک را در سال ۲۰۰۶ ژوآو سانتوس سیلوا و سیلوانا تنریرو در مقاله‌ای اثرگذار با نام «لگاریتم جاذبه» در نشریه Review of Economics and Statistics برملا کردند. آنها نشان دادند که در حضور ناهمسانی واریانس، برآورد پارامترهای مدل‌های لگاریتمی با حداقل مربعات معمولی (OLS) به تخمین‌های اریب از کشش‌های واقعی ختم می‌شود.[1][3]

سانتوس سیلوا و تنریرو نوشتند: «اگرچه اقتصاددانان از دیرباز با نابرابری ینسن آشنا بودند، پیامد بسیار مهم آن در بسیاری از کاربردهای اقتصادسنجی مغفول ماند». آنها اثبات کردند که ارزش چشم‌داشتیِ یک لگاریتم برابر با لگاریتمِ ارزش چشم‌داشتی نیست؛ شکافی که بنیاد مدل‌های لگاریتم-خطی را برهم می‌زند.[1]

نابرابری ینسن می‌گوید در تبدیلات غیرخطی، تابعِ میانگین با میانگینِ تابع برابر نیست. از آنجا که تابع لگاریتم اکیداً مقعر است، امید ریاضی جملهٔ خطای تبدیل‌شده شدیداً به واریانس آن بستگی پیدا می‌کند.[1]

انحراف سیستماتیک ناشی از ناهمسانی واریانس

اگر واریانس جملهٔ خطا در میان مشاهدات ثابت نباشد — وضعیتی که ناهمسانی واریانس نام دارد — امید ریاضی جملهٔ خطا نیز متغیر خواهد شد. این رخداد فرض اساسی OLS را نقض می‌کند و برآوردگر نوسان واریانس را به حساب متغیرهای مستقل می‌گذارد و کشش‌ها را منحرف می‌سازد.[1]

نویسندگان مقاله برای رهایی هم‌زمان از بحران صفرهای پرتکرار و تورش ناهمسانی واریانس، پیشنهاد کردند تبدیل لگاریتمی را یک‌بار برای همیشه کنار بگذاریم و در عوض از برآوردگر شبه‌درست‌نمایی پیوسته پوآسون (PPML) استفاده کنیم؛ برآوردگری که روابط ضربی را مستقیماً در سطح واقعی داده‌ها برآورد می‌کند.[1]

برآوردگر PPML به‌جای قالب‌ریزی داده‌ها در یک مدل خطی، یک میانگین شرطی نمایی را بر داده‌های خام برازش می‌دهد. فرم ریاضی مدل E[y|x] = exp(xβ) است و مقادیر صفر را بدون نیاز به هیچ عدد من‌درآوردی یا دستکاری داده به‌صورت طبیعی در خود جای می‌دهد.[2]

چون در روش PPML از متغیر وابسته لگاریتم گرفته نمی‌شود، صفر همان صفر می‌ماند. این برآوردگر با حل معادلات امتیاز پوآسون برای میانگین شرطی، تمام مشاهدات نمونه را حفظ می‌کند و در عین حال، ضرایب خروجی همچنان درست مانند مدل‌های لگاریتم-خطی به صورت کشش تفسیر می‌شوند.[2]

این برآوردگر نه نیازی دارد که داده‌ها حتماً از توزیع پوآسون پیروی کنند، و نه متغیر وابسته لزوماً باید عدد صحیح باشد. این یک روش شبه‌درست‌نمایی است؛ یعنی تا زمانی که میانگین شرطی درست تصریح شده باشد، صرف‌نظر از شکل توزیعِ داده‌ها، سازگار باقی می‌ماند.[2][6]

برآورد مستقیم در سطوح خام داده‌ها

فراگیر شدن PPML تا حد زیادی مدیون پیشرفت نرم‌افزارهای آماری است. امروزه بسته‌های استاندارد اقتصادسنجی از این برآوردگر پشتیبانی می‌کنند و پژوهشگران می‌توانند مدل‌هایی با میلیون‌ها مشاهده و چندین اثر ثابت با ابعاد بالا را ظرف چند ثانیه برآورد کنند.[2]

این نرم‌افزارها برای حل تابع درست‌نمایی پوآسون از الگوریتم حداقل مربعات با وزن‌دهی مجدد تکراری بهره می‌برند. چنین راندمان محاسباتی بالایی آخرین مانع به‌کارگیری را برداشت، زیرا در گذشته برآورد مدل‌های غیرخطی روی داده‌های تابلویی حجیم بار پردازشی سنگینی داشت.[2]

تأثیر عملی استفاده از PPML کاملاً ملموس و قابل سنجش است. در یک مجموعه داده مدل جاذبه با ۲۰۰ مشاهده که ۴۶٫۵ درصد از مقادیر آن صفر است، حذف صفرها برای رگرسیون معمولی شیب گروه را از ۰٫۶۲ به ۰٫۳۷ تنزل می‌دهد.[2]

این کاهش ۴۰ درصدی در اندازهٔ اثر تنها نتیجهٔ خطای روش آماری منتخب است. روش PPML با نگه‌داشتن آن ۹۳ مشاهدهٔ صفر و اصلاح ناهمسانی واریانس، اندازهٔ واقعی رابطه را که در پشت پردهٔ مدل لگاریتم-خطی پنهان شده بود آشکار می‌سازد.[2]

برآوردگر PPML گذشته از مهار صفرها و ناهمسانی واریانس، از یک ویژگی ریاضی منحصر‌به‌فرد سود می‌برد که آن را برای مدل‌سازی ساختاری بی‌بدیل می‌کند: تنها برآوردگر شبه‌درست‌نمایی است که مجموع جریان‌های کل را میان ماتریس واقعی و ماتریس پیش‌بینی‌شده حفظ می‌کند.[4]

پاسخ به معضل جمع‌پذیری در برآوردها

این چالش که به مسئله «جمع‌پذیری کل» معروف است، گریبان سایر روش‌ها را می‌گیرد. در برآورد OLS، حاصل‌جمع جریان‌های تجاری پیش‌بینی‌شده در تمام کشورها با رقم واقعی تجارت تطابق ندارد؛ اما PPML تضمین می‌کند که این دو جمع همواره کاملاً برابر باشند.[4]

بانک جهانی با تأکید بر این ویژگی یادآور شده که PPML تخمین‌هایی تولید می‌کند که در آنها سرجمع صادرات واقعی و تخمینی در مقاصد تجاری دقیقاً هم‌پوشانی دارند؛ ثبات ساختاری‌ای که برای شبیه‌سازی اثر تعرفه‌ها یا توافق‌های تجارت آزاد حیاتی است.[4]

رویکرد PPML ادبیات تجربی تجارت را متحول کرده است. مقاله «لگاریتم جاذبه» بیش از ۲۵۰۰ ارجاع در پایگاه EconPapers ثبت کرده و به یکی از ماندگارترین سرفصل‌های روش‌شناسی در اقتصاد کاربردی سدهٔ جاری تبدیل شده است.[3]

کاربرد این روش اکنون فراتر از تجارت بین‌الملل رفته است. در اقتصاد سلامت و مدیریت بازرگانی، از PPML به‌طور گسترده برای مهار متغیرهای دارای چولگی مثبت استفاده می‌شود. هر حوزه‌ای که با داده‌های نامنفی و تراکم بالای صفر روبه‌رو باشد، به این ابزار نیاز دارد.[6]

مثلاً در اقتصاد سلامت، هزینه‌های درمانی به‌شدت به راست چوله هستند و بیماران پرشماری که اصلاً به پزشک مراجعه نکرده‌اند هزینه صفر ثبت کرده‌اند. مدل لگاریتمی معمول یا افراد سالم را حذف می‌کند یا داده‌هایشان را با یک عدد ثابت منحرف می‌سازد، اما PPML توزیع واقعی را ثبت می‌کند.[6]

توسعه فراتر از چارچوب‌های اولیه

پژوهش‌های نوین اقتصادسنجی همچنان در پی اصلاح چارچوب PPML هستند. در سال ۲۰۲۲ پژوهشگران شبکه CESifo برآوردگر تعمیم‌یافتهٔ شبه‌درست‌نمایی پوآسون را معرفی کردند تا پیش‌فرض تناسب مستقیم واریانس شرطی با میانگین شرطی تعدیل شود.[5]

این برآوردگر تعمیم‌یافته با بهره‌گیری از روش گشتاورهای تعمیم‌یافته تکرارشونده، واریانس شرطی را مستقیماً از خود داده‌ها استخراج می‌کند. این کار تخمین‌ها را حتی کاراتر و در برابر ساختارهای گوناگون داده تاب‌آورتر می‌کند، بدون اینکه توانایی کار با صفرهای اولیه مخدوش شود.[5]

با همهٔ این پیشرفت‌ها، کشف بنیادی سال ۲۰۰۶ همچنان شالودهٔ مدل‌سازی ضربی مدرن است: قالب‌ریزی اجباری داده‌ها در یک فرم خطی، خطاهای پنهانی پدید می‌آورد. به‌جای پیچاندن داده، باید مدل را با سرشت واقعی ارقام سازگار کرد.[7]

تکرار پژوهش‌های قدیمی با برآوردگر PPML نشان داده که بسیاری از احکام پذیرفته‌شدهٔ پیشین فرو می‌ریزند. هنوز به‌درستی معلوم نیست چه تعدادی از یافته‌های تجربی ثبت‌شده در تاریخ اقتصاد و سلامت، صرفاً زاییدهٔ انتخاب دلخواه واحد اندازه‌گیری در تبدیل‌های log(y+1) بوده‌اند.[7]

برای هر تحلیل‌گر داده قاعدهٔ راهنما روشن است: زمانی که متغیر نامنفی است، ماهیت ارتباط ضربی است و داده حاوی مقادیر صفر است، استفاده از تبدیل لگاریتمی خطا است. تنها مسیر ریاضی استوار و سازگار، برازش مستقیم در سطوح اولیه از طریق PPML است.[7]