چگونه آزمون ریشه واحد از همبستگی کاذب در سری‌های زمانی ناایستا جلوگیری می‌کند

پیش از آنکه یک اقتصادسنج بتواند به رابطه میان دو متغیر در طول زمان اعتماد کند، ابتدا باید ثابت کند که داده‌های پایه به طور بی‌پایان سرگردان نیستند. ابزاری که آن‌ها برای این تصمیم‌گیری به کار می‌گیرند، آزمون ریشه واحد است؛ مکانیزمی که مشخص می‌کند آیا یک سری زمانی دارای میانگین و واریانس ثابت است، یا اینکه پیش از اجرای هرگونه مدل رگرسیون، باید از نظر ریاضی تفاضل‌گیری شود.[2]

خطر نادیده گرفتن این مرحله، افتادن در یک تله ریاضی به نام رگرسیون کاذب است. وقتی دو مجموعه داده کاملاً مستقل (مانند بارندگی انباشته در لندن و قیمت بسته شدن شاخص اس‌اندپی ۵۰۰) هر دو در طول زمان روند صعودی داشته باشند، مدل‌های رگرسیون استاندارد به اشتباه آن‌ها را دارای همبستگی بالا اعلام می‌کنند. مدل، این مسیر صعودی مشترک را به عنوان یک رابطه علی تفسیر کرده و معیارهای اطمینان به طور مصنوعی بالایی تولید می‌کند که تحلیلگر را فریب می‌دهد.[5]

این پدیده در سال ۱۹۷۴ توسط دو آمارشناس به نام‌های کلایو گرنجر و پل نیوبلد به طور رسمی تشخیص داده شد. آن‌ها از طریق شبیه‌سازی‌های مونت کارلو بر روی ۱۲۰ گام تصادفی مستقل، نشان دادند که رگرسیون‌های استاندارد حداقل مربعات معمولی (OLS) در ۷۶ درصد مواقع یک رابطه از نظر آماری معنادار را گزارش می‌دهند، در حالی که متغیرها مطلقاً هیچ ارتباط واقعی با هم نداشتند. آن‌ها دریافتند که این رگرسیون‌های کاذب به طور پیوسته مقدار آر-اسکوئر بیشتر از ۰٫۹۰ و آماره‌های تی بسیار بالاتر از آستانه استاندارد ۲٫۰ تولید می‌کنند.

علت ریشه‌ای این فریب، ناایستایی است. یک سری زمانی ایستا در طول زمان به یک میانگین ثابت بازمی‌گردد و واریانس پایداری دارد که پیش‌بینی وضعیت‌های آینده را ممکن می‌سازد. با این حال، یک سری ناایستا دارای یک «روند تصادفی» است که در آن هر مقدار جدید، صرفاً مقدار قبلی به علاوه یک شوک تصادفی است. از آنجا که این شوک‌ها به طور دائم انباشته می‌شوند، واریانس سری در طول زمان تا بی‌نهایت رشد می‌کند و مفروضات اصلی رگرسیون کلاسیک را نقض می‌کند.[1][3]

در اصطلاح ریاضی، این رفتار انباشتی «ریشه واحد» نامیده می‌شود. این نام از معادله مشخصه مدل خودهمبسته گرفته شده است؛ اگر یکی از ریشه‌های این معادله دقیقاً برابر با ۱٫۰ باشد، سری ناایستا است. همان‌طور که مستندات وال‌استریت‌موجو توضیح می‌دهد، تشخیص این شرایط، دروازه اصلی در پیش‌بینی سری‌های زمانی است و تضمین می‌کند که «ویژگی‌های آماری سیستم در طول زمان تغییر نمی‌کنند.»[4][6]

برای به دام انداختن یک ریشه واحد پیش از آنکه مدلی را نابود کند، تحلیلگران به آزمون دیکی-فولر تعمیم‌یافته (ADF) که در سال ۱۹۷۹ توسعه یافت، تکیه می‌کنند. آزمون ADF فرضیه صفری را تعیین می‌کند که مبنی بر وجود ریشه واحد است. تحلیلگر یک آماره آزمون را محاسبه کرده و آن را با یک مقدار بحرانی مقایسه می‌کند؛ اگر این آماره از مقدار بحرانی منفی‌تر باشد (معمولاً در سطح آلفای ۰٫۰۵)، فرضیه صفر رد شده و تایید می‌شود که داده‌ها ایستا هستند.[6]

بخش «تعمیم‌یافته» در آزمون ADF به آن اجازه می‌دهد تا با گنجاندن تفاضل‌های وقفه‌دار داده‌ها، پویایی‌های پیچیده‌تر سری‌های زمانی را مدیریت کند. این امر تضمین می‌کند که همبستگی پیاپی در جملات خطا، آماره آزمون را به طور مصنوعی متورم نمی‌کند. با این حال، انتخاب تعداد صحیح وقفه‌ها بسیار حیاتی است؛ وقفه‌های بسیار کم باعث سوگیری آزمون می‌شوند، در حالی که وقفه‌های بیش از حد، توان آماری آن را تخلیه می‌کنند.[2]

از آنجا که آزمون ADF فرض می‌کند جملات خطا دارای واریانس ثابت هستند، می‌تواند در مواجهه با داده‌های مالی دنیای واقعی که خوشه‌بندی نوسانات را نشان می‌دهند، دچار مشکل شود. در سال ۱۹۸۸، پیتر فیلیپس و پیر پرون آزمون فیلیپس-پرون (PP) را برای حل این مشکل معرفی کردند. آزمون PP به جای افزودن تفاضل‌های وقفه‌دار، یک اصلاح ناپارامتریک را بر خطای استاندارد آماره آزمون اعمال می‌کند و آن را در برابر خودهمبستگی نامشخص و ناهمسانی واریانس مقاوم می‌سازد.[1]

هر دو آزمون ADF و PP از توان آماری پایین در نمونه‌های کوچک رنج می‌برند، به این معنی که اغلب در رد فرضیه صفر زمانی که یک سری در واقع ایستا اما به شدت ماندگار است، ناکام می‌مانند. برای مقابله با این مسئله، اقتصادسنج‌ها از آزمون کی‌پی‌اس‌اس (KPSS) استفاده می‌کنند که چارچوب را کاملاً وارونه می‌کند. آزمون KPSS فرضیه صفر خود را بر این فرض بنا می‌کند که داده‌ها ایستا هستند. با اجرای همزمان آزمون‌های ADF و KPSS، تحلیلگران می‌توانند نتایج را متقاطع‌سنجی کرده و سری‌هایی را که صرفاً ایستا حول روند هستند، جدا کنند.[2]

وقتی یک آزمون ریشه واحد تایید می‌کند که داده‌ها ناایستا هستند، تحلیلگر نمی‌تواند با یک رگرسیون استاندارد پیش برود. در عوض، آن‌ها باید داده‌ها را از طریق «تفاضل‌گیری مرتبه اول» (یعنی کم کردن مشاهده قبلی از مشاهده فعلی) تبدیل کنند. همان‌طور که مستندات مت‌ورکس اشاره می‌کند: «یک فرآیند ریشه واحد، یک فرآیند تولید داده است که تفاضل مرتبه اول آن ایستا است.»[2][3]

تفاضل‌گیری، تحلیل را از مقادیر مطلق به نرخ‌های تغییر سوق می‌دهد. به جای رگرسیون تولید ناخالص داخلی کل در برابر کل انتشار کربن، اقتصادسنج تغییرات ماه به ماه در تولید ناخالص داخلی را در برابر تغییرات ماه به ماه در انتشار کربن رگرسیون می‌کند. این کار روند تصادفی مشترک را حذف کرده و آشکار می‌سازد که آیا این دو متغیر واقعاً در یک سطح دقیق و جزئی با هم حرکت می‌کنند یا خیر.[5]

اگرچه آزمون‌های ریشه واحد برای اقتصادسنجی مدرن بنیادین هستند، اما بی‌نقص نیستند. شکست‌های ساختاری (تغییرات ناگهانی در یک سری زمانی ناشی از شوک‌های خارجی مانند یک همه‌گیری یا تغییر سیاست) می‌توانند هر دو آزمون ADF و PP را فریب دهند تا به اشتباه یک ریشه واحد را شناسایی کنند. در این موارد خاص، تحلیلگران باید الگوریتم‌های تخصصی مانند آزمون زیووت-اندروز را به کار گیرند که هنگام ارزیابی ایستایی، شکست‌های ساختاری را نیز در نظر می‌گیرند.[1]