نسبت‌های ۳:۲، ۴:۳ و ۲:۱: چگونه تقسیم ساده طول سیم، فواصل پنجم درست، چهارم درست و اکتاو را تعریف می‌کند

اگر یک گیتار آکوستیک استاندارد بردارید و انگشت خود را دقیقاً در وسط دسته گیتار (فرت‌بورد) فشار دهید، طول ارتعاش سیم را دقیقاً ۵۰ درصد کاهش داده‌اید. حالا به آن سیمِ کوتاه‌شده زخمه بزنید؛ نتی که به صدا درمی‌آید دقیقاً یک اکتاو بالاتر از سیم آزاد زیر آن است. این همان نسبت ۲:۱ است، حقیقت ریاضی و بنیادین آکوستیک. این مقدار چنان برای شنوایی انسان اساسی است که مغز ما این دو فرکانس مجزا را دقیقاً به عنوان یک نت موسیقی واحد درک می‌کند که فقط در محدوده‌های صوتی (رجیستر) متفاوتی قرار دارند. این تقسیم فیزیکی ساده - نصف کردن یک شیء فیزیکی برای دو برابر کردن فرکانس آن - سنگ بنای روشی است که انسان‌ها هزاران سال برای سازماندهی صدا به کار برده‌اند.[1][4]

معماری موسیقی غربی بر پایه حساب دیفرانسیل و انتگرال پیچیده بنا نشده، بلکه روی تقسیم فیزیکی طول سیم‌ها به کسرهای ساده استوار است. اگر نصف کردن سیم یک اکتاو تولید می‌کند، متوقف کردن ارتعاش سیم دقیقاً در دو سوم طول اولیه‌اش، پایدارترین صدای بعدی را در سیستم شنوایی انسان ایجاد می‌کند: فاصله پنجم درست (perfect fifth). از آنجا که طول سیم به کسر ۲:۳ کاهش می‌یابد، موج صوتی حاصل با نسبت فرکانس ۳:۲ در مقایسه با نت پایه مرتعش می‌شود. اگر سیم آزاد با فرکانس ۴۴۰ هرتز - استاندارد مدرن برای نت لا (A) - مرتعش شود، سیمی که روی دو سوم طولش گرفته شده با فرکانس ۶۶۰ هرتز مرتعش می‌شود و یک نت می (E) خالص تولید می‌کند.[1]

حالا دوباره همان سیم را کوتاه کنید، این بار دقیقاً در سه چهارم طول کل آن، و فرکانس حاصل به نسبت ۴:۳ تغییر می‌کند. این کار فاصله چهارم درست (perfect fourth) را تولید می‌کند. این سه تناسب ریاضی - ۲:۱، ۳:۲ و ۴:۳ - در کنار هم، داربست آکوستیک را برای تقریباً هر سنت موسیقایی روی کره زمین می‌سازند. فیثاغورس، فیلسوف یونان باستان که در قرن ششم قبل از میلاد می‌زیست، به طور گسترده‌ای به عنوان کسی شناخته می‌شود که این سیستم را با استفاده از یک ساز تک‌سیم به نام مونوکورد (monochord) فرموله کرد. پیروان او با حرکت دادن سیستماتیک یک خرک چوبی در زیر سیم برای تقسیم آن به این نسبت‌های صحیح و دقیق، فواصل مطبوعی را نقشه‌برداری کردند که هنوز هم بر موسیقی جهانی تسلط دارند.[3][4]

رویکرد فیثاغورثی به کوک کردن سازها، ناشی از یک باور فلسفی عمیق بود که جهان توسط روابط عددی ظریف و بی‌نقص اداره می‌شود. نوالیس (Novalis)، فیلسوف آلمانی، بعدها با تکرار این باور باستانی که این کسرهای ساده نمایانگر یک حقیقت کیهانی هستند، گفت: «به نظر من تناسبات موسیقایی، تناسبات طبیعیِ به‌ویژه درستی هستند.» از آنجا که فاصله پنجم درست (۳:۲) طنین‌اندازترین هارمونی پس از اکتاو است، نظریه‌پردازان اولیه موسیقی تلاش کردند تا کل گام‌ها را صرفاً با روی هم چیدن فواصل پنجم درست بسازند. آن‌ها با شروع از یک نت پایه و ضرب مکرر فرکانس آن در ۱.۵، دوازده نت گام کروماتیک را تولید کردند.[4]

با این حال، جهان فیزیکی یک تله ریاضی را در دل این کسرهای ساده پنهان کرده است. اگر یک کوک‌کننده پیانو بخواهد کیبوردی را فقط با استفاده از فواصل پنجم درست خالص (۳:۲) بسازد، در نهایت به بن‌بست می‌خورد. روی هم چیدن دقیقاً دوازده فاصله پنجم درست، در تئوری، باید کوک‌کننده را دقیقاً به همان نت شروع برگرداند، فقط هفت اکتاو بالاتر. اما از نظر ریاضی، این دو توالی با هم هم‌تراز نمی‌شوند. دوازده فاصله پنجم درست، نسبت فرکانسی برابر با ۵۳۱۴۴۱ به ۵۲۴۲۸۸ تولید می‌کند که کمی از نسبت ۱۲۸:۱ در هفت اکتاو کامل فراتر می‌رود. این امر یک اختلاف آکوستیک آشکارِ حدود ۲۳.۴۶ سنتی - تقریباً یک چهارم یک نیم‌پرده - ایجاد می‌کند که به «کمای فیثاغورثی» (Pythagorean comma) معروف است.[3][4]

به دلیل همین اضافه‌بار ریاضی ۲۳.۴۶ سنتی، گامی که کاملاً بر اساس کسرهای خالص سیم ساخته شده باشد، نمی‌تواند حلقه خود را ببندد. برای اینکه اکتاو در جای خود قرار بگیرد، یکی از فواصل پنجم در این توالی باید به شدت بم (فلت) شود، که یک تداخل آکوستیک ناهنجار و گوش‌خراش ایجاد می‌کند؛ چیزی که موسیقی‌دانان قرون وسطی به دلیل تداخل صوتی زوزه‌مانندش، آن را «فاصله گرگ» (wolf interval) نامیدند. با تکامل موسیقی غربی و ورود هارمونی‌های پیچیده و تغییر کلیدهای مکرر، نادیده گرفتن محدودیت‌های کوک کسری خالص غیرممکن شد. در یک خلاصه تاریخی از این روش آمده است: «سیستم فیثاغورثی به دلیل خلوص فواصل پنجم ایده‌آل به نظر می‌رسد، اما برخی فواصل دیگر، به ویژه فاصله سوم بزرگ، چنان خارج از کوک در نظر گرفته می‌شوند که آکوردهای ماژور [ممکن است] یک ناهنجاری (دیسونانس) تلقی شوند.»[4]

فاصله سوم بزرگ در کوک فیثاغورثی نیازمند این است که سیم دقیقاً در ۶۴/۸۱ طول خود متوقف شود، که یک نسبت فرکانسی ۸۱:۶۴ ایجاد می‌کند و به شکلی ناخوشایند گوش را می‌آزارد. تا اوایل قرن شانزدهم، زمانی که آهنگسازان خواستار توانایی مدولاسیون در کلیدهای مختلف بدون فعال کردن «فاصله گرگ» مخوف شدند، کسرهای خالص دوران باستان به تدریج کنار گذاشته شدند. سازندگان ساز، سیستم «اعتدال مساوی» (equal temperament) را اتخاذ کردند؛ یک سیستم سازشی که اکتاو را به دوازده نیم‌پرده از نظر ریاضی یکسان تقسیم می‌کند. در این سیستم مدرن، هر فاصله پنجم از ۷۰۲ سنت خالص در نسبت ۳:۲، کمی باریک‌تر شده و دقیقاً به ۷۰۰ سنت می‌رسد، و به این ترتیب کمای فیثاغورثی به طور مساوی در سراسر کیبورد توزیع می‌شود.[3][4]

امروزه، نسبت‌های خالص ۳:۲ و ۴:۳ سیم‌ها عمدتاً در سیم‌های آزاد سازهای ارکسترال مانند ویولن و ویولنسل، و در سنت‌های آوازی بدون همراهی ساز در موسیقی کرال زنده مانده‌اند؛ جایی که خوانندگان به طور طبیعی به سمت کمال طنین‌انداز آکوستیکِ اعداد صحیح گرایش پیدا می‌کنند. در حالی که سینتی‌سایزرهای دیجیتال مدرن و پیانوهای رویال ما به سازش مصنوعی اعتدال مساوی وابسته‌اند، ترجیح گوش انسان برای تقسیمات ساده سیم همچنان در ذات ما نهادینه است. اکتاو ۲:۱ و پنجم ۳:۲ ابداعات فرهنگی نیستند؛ آن‌ها قوانین فیزیکی جهان‌اند که در طول مرتعش هر سیمی نوشته شده‌اند.[1][2][3]