الزام 3f+1: چرا اجماع توزیع‌شده از نظر ریاضی به بیش از دو سوم نودهای صادق نیاز دارد

وقتی معمار یک شبکه توزیع‌شده تصمیم می‌گیرد سیستمش در برابر چه تعداد نود مخرب تاب بیاورد، با یک محدودیت ریاضیاتی سخت‌گیرانه روبه‌روست: شبکه تنها زمانی می‌تواند در برابر خرابی‌ها مقاومت کند که بیش از دو سوم مشارکت‌کنندگانش صادق بمانند. این مرز که به عنوان الزام 3f+1 شناخته می‌شود، حکم می‌کند که برای بقا در برابر تعداد مشخصی از نودهای معیوب (f)، اندازه کل شبکه باید حداقل 3f+1 باشد. هر بار که یک پروتکل غیرمتمرکز تراکنشی را تایید می‌کند، دقیقاً همین آستانه را به آزمون می‌گذارد. اگر سیستمی به قطعیت قطعی نیاز داشته باشد - به این معنی که تراکنش به محض تایید، برای همیشه غیرقابل بازگشت باشد - راه فراری از این محدودیت ۳۳٫۳ درصدی ندارد.[1][3]

ضرورت این نسبت ریشه در «مسئله ژنرال‌های بیزانسی» دارد؛ یک معمای منطقی که در سال ۱۹۸۲ توسط دانشمندان علوم کامپیوتر، لزلی لمپورت، رابرت شوستاک و مارشال پیس فرمول‌بندی شد. همان‌طور که River Financial توضیح می‌دهد، این سناریو ژنرال‌های متحدی را تصور می‌کند که شهری را محاصره کرده‌اند و باید بر سر حمله یا عقب‌نشینی به توافق برسند. مستندات اشاره می‌کنند: «اگر آن‌ها به اجماع نرسند، حمله شکست خواهد خورد» و تاکید می‌کنند که ژنرال‌های خائن ممکن است پیام‌های متناقضی بفرستند تا وفاداران را گیج کنند. در علوم کامپیوتر مدرن، این ژنرال‌ها همان سرورها هستند و خائنان، نودهای در معرض خطری هستند که داده‌های متناقضی را به بخش‌های مختلف شبکه ارسال می‌کنند.[5][6]

اثبات ریاضی مرز 3f+1 بر اشتراک حد نصاب‌های رای‌گیری استوار است. اگر شبکه‌ای در مجموع N نود داشته باشد و f تعداد از آن‌ها معیوب باشند، یک نود صادق که منتظر دریافت پیام است، تنها می‌تواند با اطمینان منتظر N منهای f پاسخ بماند، زیرا f نود معیوب ممکن است به سادگی آفلاین شوند و هرگز پاسخی ندهند. با این حال، در میان همان N منهای f پاسخ، هنوز هم ممکن است تا f پاسخ متعلق به نودهای مخربی باشد که فعالانه دروغ می‌گویند. برای اطمینان از اینکه در این بدترین سناریوی ممکن، تعداد نودهای صادق از دروغ‌گوها بیشتر است، تعداد پاسخ‌های صادقانه (N منهای 2f) باید اکیداً بیشتر از تعداد پاسخ‌های مخرب (f) باشد. حل نامعادله N - 2f > f نتیجه N > 3f را به دست می‌دهد؛ به این معنی که حداقل اندازه شبکه باید 3f+1 باشد.[3][5]

این مرز نظری در سال ۱۹۹۹ به مهندسی کاربردی تبدیل شد؛ زمانی که محققان دانشگاه MIT، میگل کاسترو و باربارا لیسکوف، الگوریتم تحمل خطای بیزانسی عملی (PBFT) را منتشر کردند. مقاله آن‌ها نشان داد که چگونه یک سیستم می‌تواند هزاران درخواست در ثانیه را پردازش کند و در عین حال در برابر نودهای در معرض خطر دوام بیاورد، به شرطی که قانون 3f+1 رعایت شود. کاسترو و لیسکوف نوشتند: «ما یک سیستم توزیع‌شده ناهمگام را فرض می‌کنیم که در آن نودها ممکن است با سرعت‌های کاملاً متفاوتی کار کنند» و ثابت کردند که اگر سهم نودهای مخرب به یک‌سوم برسد، توافق قطعی از نظر ریاضی غیرممکن است.[1]

معماری‌های مدرن بلاک‌چین اغلب تلاش می‌کنند این محدودیت را دور بزنند، اما ریاضیات همچنان سرسخت و غیرقابل تغییر است. بر اساس بررسی جامع پروتکل‌های اجماع که در arXiv منتشر شده است، سیستم‌هایی که ادعای تحمل خطای بالاتری دارند - مانند آستانه ۵۰ درصدی که اغلب به اجماع ناکاموتو در بیت‌کوین نسبت داده می‌شود - باید مفروضات شبکه همگام را وارد کنند یا قید قطعیت قطعی را بزنند. در این مدل‌های احتمالی، توافق در لحظه ایجاد هرگز مطلق نیست؛ بلکه تنها با گذشت زمان و اضافه شدن بلاک‌های بیشتر، احتمال آن افزایش می‌یابد.[2]

تنش میان این مدل‌ها، مهندسی غیرمتمرکز امروزی را تعریف می‌کند. تحلیل Hacken از مکانیسم‌های اجماع خاطرنشان می‌کند که اگرچه اثبات کار و اثبات سهام جریمه‌های اقتصادی برای رفتارهای مخرب در نظر می‌گیرند، اما پروتکل‌های ارتباطی زیربنایی همچنان هنگام نهایی کردن تغییرات وضعیت، با آستانه بیزانسی دست و پنجه نرم می‌کنند. اگر شبکه‌ای در لحظه نوشته شدن یک بلاک به اطمینان مطلق و غیرقابل بازگشت نیاز داشته باشد، انگیزه‌های اقتصادی کافی نیستند؛ سیستم باید در چارچوب محدودیت 3f+1 عمل کند.[4]

این مرز را نمی‌توان با کدنویسی از بین برد. وقتی توسعه‌دهندگان یک پروتکل غیرمتمرکز جدید راه‌اندازی می‌کنند و مدعی حل سه‌گانه مقیاس‌پذیری می‌شوند، عامل تعیین‌کننده نوآوری رمزنگاری آن‌ها نیست، بلکه این است که آیا ریاضیات اشتراک حد نصاب را رعایت کرده‌اند یا خیر. دفعه بعد که یک سیستم به‌روزرسانی دفتر کل توزیع‌شده را پردازش می‌کند، امنیت آن کاملاً به این بستگی دارد که اطمینان حاصل شود سهم نودهای مخرب هرگز به آن خط ۳۳ درصدی نمی‌رسد.[1][2][7]

نتیجه‌گیری اساسی برای طراحان پروتکل این است که همگامی شبکه و قطعیت، به طور جدایی‌ناپذیری با تحمل خطا در ارتباط هستند. تا زمانی که یک سیستم باید در بستر اینترنت غیرقابل پیش‌بینی کار کند که در آن تاخیر پیام‌ها هیچ حد و مرزی ندارد، قانون 3f+1 به عنوان سقف مطلق برای توافق بدون نیاز به اعتماد عمل می‌کند.[1][7]