مدل‌های هوش مصنوعی حدس ۸۰ ساله اردوش در مورد فاصله واحد را رد کردند

برای تقریباً هشت دهه، متخصصان هندسه گسسته بر اساس یک فرض مشترک در مورد نحوه رفتار نقاط در یک سطح صاف کار می‌کردند. اگر مجموعه‌ای از نقاط را روی یک کاغذ پراکنده کنید و هر جفتی را که دقیقاً یک واحد از هم فاصله دارند به هم وصل کنید، تصور می‌شد که شبکه خطوط حاصل با نرخ بسیار خاص و آهسته‌ای رشد می‌کند.

این همان حدس فاصله واحد اردوش بود که در سال ۱۹۴۶ مطرح شد و نسل‌ها از ریاضیدانان فرض می‌کردند که آرایش‌های بهینه همیشه تقریباً شبیه شبکه‌های مربعی خواهند بود.[8][9]

این اجماع در ماه مه ۲۰۲۶ فرو ریخت. یک مدل استدلالی داخلی که توسط OpenAI توسعه یافته بود، به طور مستقل یک مثال نقض تولید کرد که به طور قطعی این حدس ۸۰ ساله را رد کرد. هوش مصنوعی با تکیه بر نظریه اعداد جبری پیشرفته به جای شبکه‌های هندسی سنتی، پیکربندی‌ای از نقاط را ساخت که به طور قابل توجهی فواصل واحد بیشتری نسبت به آنچه پل اردوش پیش‌بینی کرده بود، ایجاد کرد.[1][8]

برای درک آنچه هوش مصنوعی به دست آورد، باید مکانیک خود مسئله را درک کرد. مسئله فاصله واحد مسطح یک سؤال به ظاهر ساده را مطرح می‌کند: با توجه به تعداد مشخصی از نقاط در یک صفحه دو بعدی، حداکثر تعداد جفت‌هایی که دقیقاً یک واحد از هم فاصله دارند، چقدر می‌تواند باشد؟[2][7]

برای تعداد کمی از نقاط، پاسخ‌ها بدیهی هستند—سه نقطه می‌توانند یک مثلث متساوی‌الاضلاع تشکیل دهند که سه فاصله واحد ایجاد می‌کند. اما با افزایش تعداد نقاط به سمت بی‌نهایت، پیچیدگی به شدت افزایش می‌یابد. اردوش در ابتدا با استفاده از یک شبکه مربعی یک کران پایین را اثبات کرد و نشان داد که مجموعه‌ای از نقاط می‌تواند چگالی خاصی از فواصل واحد داشته باشد. او حدس زد که این اساساً سقف است و رسماً بیان کرد که حداکثر تعداد جفت‌ها کمی سریع‌تر از حالت خطی رشد خواهد کرد.[1][2]

جامعه ریاضی برای بستن شکاف بین کران پایین اردوش و حد بالایی مطلق تلاش کرد. در سال ۱۹۸۴، ریاضیدانان جوئل اسپنسر، اندره سزمردی و ویلیام تروتر یک کران بالای قطعی را تعیین کردند. برای چهل سال، تلاش‌های انسانی عمدتاً بر تلاش برای کاهش آن سقف متمرکز بود تا با پیش‌بینی اردوش مطابقت داشته باشد، نه جستجوی مثال نقضی که آن را در هم بشکند.[2]

مدل OpenAI دقیقاً به این دلیل موفق شد که محدود به سوگیری تاریخی نسبت به ساختارهای شبکه‌ای نبود. پس از دریافت مسئله از محققان، این مدل وارد یک زنجیره استدلالی طولانی شد که هندسه گسسته را با نظریه اعداد جبری پیوند داد. این مدل یک خانواده کاملاً جدید از ساختارهای جبری را کشف کرد که عملکرد بهتری نسبت به مدل‌های شبکه‌ای سنتی داشتند.[1]

خروجی هوش مصنوعی یک استدلال ریاضی چند صفحه‌ای بود که مجموعه‌ای از نقاط را با نرخ رشدی شامل یک ثابت مثبت کوچک، تقریباً ده به توان منفی سی و هشت، ساخت. از آنجایی که این نرخ رشد به طور اکید از سقف پیش‌بینی شده اردوش فراتر می‌رود، به عنوان یک مثال نقض قطعی عمل کرد و ثابت کرد که حدس اصلی نادرست است.

این کشف بلافاصله نقش ریاضیدانان انسانی را از تولیدکننده به تأییدکننده تغییر داد. تیم گاوِرز، برنده مدال فیلدز، و سایر کارشناسان، اثبات هوش مصنوعی را بررسی و اعتبار آن را تأیید کردند. نکته مهم این است که موفقیت هوش مصنوعی به عنوان پایه‌ای برای بینش بیشتر انسانی عمل کرد. اندکی پس از تأیید نتیجه هوش مصنوعی، ویل ساوین، ریاضیدان دانشگاه پرینستون، ساختار مدل را بهبود بخشید و کران پایین را به طور قابل توجهی بالاتر برد.[6][11]

نتیجه OpenAI یک ناهنجاری منفرد نبود. ظرف چند روز، Anthropic گزارش داد که مدل منتشر نشده آن، کلود میتوس (Claude Mythos)، به طور مستقل همین مسئله را در طول یک آخر هفته حل کرده است. مهندسان Anthropic نمونه‌های جداگانه‌ای از مدل را با دسترسی مسدود شده به اینترنت اجرا کردند تا مطمئن شوند که صرفاً در حال بازیابی راه‌حل درز کرده OpenAI نیستند، و تأیید کردند که مدل‌های پیشرفته اکنون دارای ظرفیت استدلال ذاتی برای حل این مسئله هستند.[5]

در همان هفته، یک موفقیت موازی از گوگل دیپ‌مایند (Google DeepMind) مشاهده شد. سیستم آلفا‌پروف نکسوس (AlphaProof Nexus) دیپ‌مایند، که یک مدل زبان بزرگ را با دستیار اثبات رسمی Lean جفت می‌کند، به طور مستقل نُه مسئله حل‌نشده دیگر اردوش را حل کرد. برخلاف اثبات‌های زبان طبیعی تولید شده توسط OpenAI و Anthropic، سیستم دیپ‌مایند اثبات‌های رسمی قابل بررسی توسط ماشین تولید کرد و نیاز به تأیید انسانی را از بین برد.[5][10]

شواهد پشتیبان این موفقیت‌ها قوی است و توسط تأیید عمومی اثبات‌ها توسط ترکیبیات‌دانان برجسته تقویت شده است. توماس بلوم، که ثبت رسمی مسائل اردوش را نگهداری می‌کند، یافته‌ها را تأیید کرد و خاطرنشان کرد که هوش مصنوعی با پافشاری در مسیرهای جبری پیچیده‌ای که محققان انسانی قبلاً آن‌ها را نامطلوب می‌دانستند، موفق شد.[8][10]

با این حال، هوش مصنوعی مسئله فاصله واحد را به طور کامل حل نکرد. در حالی که مدل‌ها با موفقیت کران پایین اردوش را رد کردند، یک کران بالای جدید و محکم تعیین نکردند. حداکثر مطلق تعداد فواصل واحد ناشناخته باقی مانده است و کران بالای ۱۹۸۴ همچنان پابرجاست. هوش مصنوعی نشان داد که کف بالاتر از حد انتظار است، اما سقف را پیدا نکرد.[8][11]

حل حدس فاصله واحد نشان‌دهنده یک تغییر ساختاری در نحوه انجام تحقیقات ریاضی است. همانطور که مدل‌های هوش مصنوعی توانایی پیوند دادن ایده‌ها بین زمینه‌های مختلف—مانند هندسه و نظریه اعداد—را نشان می‌دهند، گلوگاه در ریاضیات از تولید ایده‌های جدید به سمت تأیید دقیق و گسترش اثبات‌های تولید شده توسط ماشین در حال حرکت است.[4][11]