ریاضیات متا: کالبدشکافی مقیاس‌پذیری افزایشی، ضربی و نماییِ دمیج در بالانس بازی‌ها

بازیکن شمشیری با افیکس «+۲۰٪ دمیج» را تجهیز می‌کند و می‌بیند که خروجی دمیج واقعی‌اش به‌زور ۵ درصد تکان می‌خورد. بیلدی که برایش ۴۰ ساعت تمام گریند (Grind) کرده بود، حالا به یک بن‌بست ریاضی خورده است. این اتفاق زمانی می‌افتد که موتور پایه بازی، سلاح جدید او را در یک «سطل استت افزایشی» که از قبل لبریز شده بود می‌اندازد و ارزش این آپگرید را به صفر می‌رساند. تفاوت بین کاراکتری که توقف‌ناپذیر به نظر می‌رسد و کاراکتری که ضرباتش مثل یک تکه اسفنج خیس بی‌اثر است، به‌ندرت به مهارت ربط دارد؛ همه‌چیز به این برمی‌گردد که آیا توسعه‌دهندگان یک معادله افزایشی، ضربی یا نمایی را در کدهای مبارزه نوشته‌اند یا خیر.[6]

مقیاس‌پذیری افزایشی (Additive)، تور ایمنیِ طراحی بازی است. وقتی یک بازیکن سه باف ۲۰ درصدی دمیج را روی هم استک می‌کند، موتور بازی خیلی ساده آن‌ها را با هم جمع کرده و یک افزایش ثابت ۶۰ درصدی می‌سازد که دمیج پایه ۱۰۰ را به ۱۶۰ تبدیل می‌کند. این روش قابل پیش‌بینی و باثبات است و از نظر ریاضی اجازه نمی‌دهد بازی خراب شود. اما در عین حال، یک تله روانیِ بی‌رحمانه به نام «بازده نزولی» ایجاد می‌کند. رفتن از ۰٪ به ۲۰٪ دمیجِ پاداش، یک جهش قدرت نسبی و عظیم ۲۰ درصدی است. اما رفتن از ۲۰۰٪ به ۲۲۰٪ دمیجِ پاداش، خروجی واقعی را تنها ۶.۶ درصد افزایش می‌دهد. بازیکن با همان شدتِ قبل گریند می‌کند، اما برای آپگریدی که حالا سه برابر ضعیف‌تر احساس می‌شود.[1][6]

برای حل مشکل رکود ریاضیات افزایشی در اواخر بازی، بازی‌های اکشن نقش‌آفرینی و موبا به سراغ «سطل‌های ضربی» می‌روند. در اینجا، هر منبع جدیدِ دمیج در کلِ مقدار موجود ضرب می‌شود. حالا همان سه باف ۲۰ درصدی به صورت ۱.۲ ضرب‌در ۱.۲ ضرب‌در ۱.۲ محاسبه می‌شوند و به جای ۶۰ درصد، یک افزایش ۷۲.۸ درصدی (۱۷۲.۸ دمیج) را رقم می‌زنند. در بازی‌هایی مثل دیابلو ۴ (Diablo 4) یا گنشین ایمپکت (Genshin Impact)، پیدا کردن یک ضریبِ ضربیِ جدید، جام مقدسِ تئوری‌کرفتینگ است. این سیستم تضمین می‌کند که آپگریدهای گیر (Gear) همیشه تأثیرگذار باشند، فارغ از اینکه بازیکن چند صد ساعت در بازی وقت گذرانده است.[3][4]

ریسکِ مقیاس‌پذیری ضربی، نابودی مطلق بالانس بازی است. از آنجا که اعداد به صورت مرکب رشد می‌کنند، توسعه‌دهنده‌ای که تصادفاً یک مادیفایر ضربیِ اضافه وارد بازی کند، در عرض یک پچ می‌بیند که دمیج بازیکنان از هزاران به میلیاردها جهش کرده است. این موضوع استودیوها را مجبور می‌کند تا سیستم‌های پیچیده «سطل دمیج» را پیاده‌سازی کنند؛ جایی که استت‌های درون یک سطل برای مهار شدن با هم جمع می‌شوند، اما خود سطل‌ها در یکدیگر ضرب می‌شوند. این یک بندبازیِ خطرناک در مدیریت صفحات گسترده (Spreadsheet) است که در آن، یک نقطه اعشارِ جابه‌جا شده می‌تواند سرسخت‌ترین باس‌های رید (Raid) را به یک شوخی تبدیل کند.[3]

مقیاس‌پذیری نمایی (Exponential) تور ایمنی را کلاً دور می‌اندازد. این فرمول که عمدتاً در بازی‌های آیدل، کلیکرهای افزایشی یا روگ‌لایک‌های با مقیاس‌پذیریِ افراطی استفاده می‌شود، اعداد پایه را به توان می‌رساند؛ مثلاً x به توان ۱.۱۵ در هر لول. اعداد در اینجا فقط رشد نمی‌کنند؛ بلکه روی یک منحنیِ چوب‌هاکی به شکلی انفجاری به سمت بالا شلیک می‌شوند. یک کاراکتر لول ۱۰ ممکن است ۵۰۰ دمیج وارد کند، در حالی که یک کاراکتر لول ۵۰، ۵۰۰ تریلیون دمیج می‌زند. این سیستم یک شاتِ دوپامین بی‌نظیر از پیشرفت را به رگ‌های بازیکن تزریق می‌کند، اما بالانس کردن بخش چندنفره رقابتی را از نظر ریاضی غیرممکن می‌سازد.[5]

فرمول دمیج تنها نیمی از این حمام خون است؛ فرمول دفاع هم باید بتواند این مشت را مهار کند. اگر یک بازی از دمیج ضربی اما کاهش آرمور خطی استفاده کند (جایی که ۱ آرمور برابر با ۱ دمیجِ کمتر است)، مهاجمانِ لول‌بالا در یک چشم‌به‌هم‌زدن مدافعانِ لول‌بالا را وان‌شات (One-shot) می‌کنند. برای جلوگیری از این فاجعه، توسعه‌دهندگان باید دمیج ضربی را با فرمول‌های کاهش دمیج کسری جفت کنند—جایی که ۱۰۰ آرمور ۵۰٪ دمیج را بلاک می‌کند، اما ۲۰۰ آرمور فقط ۷۵٪ را. ریاضیات در هر دو سوی این برخورد باید آینه یکدیگر باشند، وگرنه زمانِ کشته شدن (Time-to-kill) به صفر سقوط می‌کند.[2]

در بازی‌های موبا، تنش بین این فرمول‌هاست که ریتم کل مسابقه را دیکته می‌کند. دمیجِ اوایل بازی (Early game) معمولاً افزایشی است و درگیری‌ها را کند و تاکتیکال نگه می‌دارد. اما وقتی کری‌ها (Carries) گلد فارم می‌کنند و آیتم‌هایی می‌خرند که شانس کریتیکال استرایک را در سرعت حمله و دمیج پایه ضرب می‌کند، ریاضیات به سمت ضربی شدن شیفت می‌کند. تیمی که دقیقاً بفهمد ریاضیاتِ کریِ آن‌ها چه زمانی از این آستانه عبور می‌کند، کنترل تیم‌فایت‌ها را به دست می‌گیرد و یک پیشرفت خطی را به یک تهدید نمایی تبدیل می‌کند.[1][6]

دورانِ پنهان کردن این فرمول‌ها پشت تول‌تیپ‌های (Tooltips) مبهم توسط توسعه‌دهندگان به سر آمده است. تئوری‌کرفترهای مدرن در همان ساعات اولیه عرضه نسخه بتا، معادلات دقیق دمیج را مهندسی معکوس می‌کنند و اسپردشیت‌هایی می‌سازند که بازی را حتی قبل از انتشار رسمی‌اش حل می‌کنند. مزیت رقابتیِ بعدی برای یک استودیو، صرفاً نوشتن یک فرمول بهتر نیست—بلکه طراحیِ بازی‌ای است که ریاضیاتش آن‌قدر شفاف باشد که به بازیکنانی که آن را یاد می‌گیرند پاداش دهد، اما آن‌قدر پیچیده باشد که نتوان آن را با یک بیلدِ بی‌نقص و واحد حل کرد.[4]