چگونه یک داده پرت جدول رده‌بندی را زیر و رو می‌کند: شکاف ریاضی بین استانداردسازی نمره Z و نرمال‌سازی مین-مکس

در ارزیابی زنجیره تأمین در سال ۲۰۲۳ که در مجله «مرور تولید» (Manufacturing Review) منتشر شد، محققان یک شکنندگی ریاضی را مشاهده کردند که جداول رده‌بندی مدرن را دیکته می‌کند. هنگامی که چندین تأمین‌کننده بر اساس معیارهای متفاوت – هزینه به دلار، سرعت تحویل به روز، نرخ نقص به درصد – ارزیابی می‌شدند، عملکرد فوق‌العاده بالای یک تأمین‌کننده در یک معیار واحد، کل رتبه‌بندی خرید را زیر و رو کرد. داده‌های عملکرد خام تغییری نکرده بودند، اما لنز ریاضیاتی که برای تجمیع آن‌ها استفاده شده بود، تغییر کرده بود.

این مشکل اساسی در تصمیم‌گیری چندمعیاره (MCDM) و پیش‌پردازش یادگیری ماشین است. شما نمی‌توانید دلار را با روز جمع کنید. برای ترکیب آن‌ها در یک امتیاز واحد، داده‌ها باید نرمال‌سازی یا استانداردسازی شوند تا به یک مقیاس مشترک و بدون واحد تبدیل گردند. دو روش غالب برای این تبدیل، نرمال‌سازی حداقل-حداکثر (مین-مکس) و استانداردسازی نمره Z هستند، و انتخاب بین آن‌ها یک گام اداری خنثی نیست. این یک تصمیم سرمقاله‌ای است که تعیین می‌کند چه کسی برنده می‌شود.[1][4]

نرمال‌سازی مین-مکس روش شهودی‌تری از این دو است. این روش کمترین مقدار در یک مجموعه داده را می‌گیرد و دقیقاً آن را ۰ قرار می‌دهد، بالاترین مقدار را ۱ قرار می‌دهد و بقیه مقادیر را به طور متناسب در این بین توزیع می‌کند. فرمول به این شکل عمل می‌کند که حداقل مقدار را از مشاهده کم می‌کند، سپس بر دامنه (حداکثر منهای حداقل) تقسیم می‌نماید.[3]

آسیب‌پذیری این رویکرد لحظه‌ای آشکار می‌شود که یک داده پرت شدید وارد مجموعه داده شود. اگر ۹۹ تأمین‌کننده قطعه‌ای را در ۱۰ تا ۱۲ روز تحویل دهند، اما یک تأمین‌کننده ۱۵۰ روز طول بکشد، مخرج کسر فرمول مین-مکس منفجر می‌شود. تأمین‌کننده ۱۵۰ روزه تبدیل به ۱ می‌شود، و خوشه ۱۰ تا ۱۲ روزه به شدت در یک نوار کوچک بین ۰.۰۰ و ۰.۰۱ فشرده می‌شود. واریانسی که تأمین‌کنندگان عادی را از هم جدا می‌کرد، به طور ریاضیاتی از بین می‌رود.[2][4]

همانطور که سباستین راشکا، محقق یادگیری ماشین، در تحلیل خود در سال ۲۰۱۴ درباره مقیاس‌بندی ویژگی‌ها اشاره کرد، نرمال‌سازی مین-مکس «داده‌ها را به یک محدوده خاص محدود می‌کند» اما مجموعه داده را نسبت به این مقادیر شدید بسیار حساس می‌سازد. هنگامی که الگوریتم پایین‌دستی به داده‌های مقیاس‌بندی شده مین-مکس نگاه می‌کند، یک ناهنجاری عظیم و یک بلوک همگن از رقبای یکسان می‌بیند که توانایی مدل برای تمایز قائل شدن بین گروه را از بین می‌برد.[3]

استانداردسازی نمره Z رویکرد کاملاً متفاوتی نسبت به مخرج کسر اتخاذ می‌کند. به جای نگاه کردن به حداکثر و حداقل مطلق، داده‌ها را حول میانگین (که آن را ۰ قرار می‌دهد) متمرکز می‌کند و آن را بر اساس انحراف معیار مقیاس‌بندی می‌کند (که واریانس را ۱ قرار می‌دهد). برای محاسبه نمره Z، میانگین را از مشاهده کم کرده و بر انحراف معیار تقسیم می‌کنید.[1]

تحت استانداردسازی نمره Z، همان داده پرت ۱۵۰ روزه، بقیه داده‌ها را فشرده نمی‌کند. از آنجا که انحراف معیار با استفاده از تمام نقاط داده محاسبه می‌شود، داده پرت یک نمره Z بسیار بزرگ – شاید ۶.۵+ یا ۷.۰+ – دریافت می‌کند، در حالی که تأمین‌کنندگان ۱۰ تا ۱۲ روزه فواصل نسبی خود را از یکدیگر حفظ می‌کنند و حول ۰.۲- تا ۰.۲+ خوشه‌بندی می‌شوند.[2][4]

به‌روزرسانی برنامه درسی ۲۰۲۶ از «آپ‌گرید» (upGrad) بر این تمایز برای مدل‌های یادگیری ماشین تأکید می‌کند. الگوریتم‌هایی که فواصل بین نقاط داده را محاسبه می‌کنند، مانند نزدیک‌ترین همسایگان K (KNN) یا ماشین‌های بردار پشتیبان (SVM)، به داده‌های استاندارد شده نیاز دارند تا از غلبه یک ویژگی با دامنه بزرگ طبیعی (مانند حقوق ۵۰۰,۰۰۰ دلاری) بر یک ویژگی با دامنه کوچک (مانند معدل ۴.۰) جلوگیری شود.[1]

آموزش «دیتاکمپ» (DataCamp) در مورد این موضوع، خط قاطعی را ترسیم می‌کند که چه زمانی باید از هر کدام استفاده کرد. استانداردسازی داده‌ها را به یک محدوده خاص محدود نمی‌کند، که آن را در برابر داده‌های پرت بسیار مقاوم‌تر می‌سازد، اما به طور معمول اعداد منفی تولید می‌کند و فاقد حداکثر تعریف شده است.

نرمال‌سازی مین-مکس یک مرز سخت ۰ تا ۱ را تضمین می‌کند، که برای الگوریتم‌هایی مانند شبکه‌های عصبی که ورودی‌های محدود انتظار دارند، یا پردازش تصویر که شدت پیکسل‌ها باید به طور واضح به مقیاس ۰ تا ۲۵۵ نگاشت شوند، ضروری است.

بحث میان متخصصان در پلتفرم‌هایی مانند «استک اکسچنج» (Stack Exchange) اغلب بر توزیع زیربنایی داده‌ها متمرکز است. اگر داده‌ها تقریباً از یک توزیع گوسی (منحنی زنگوله‌ای) پیروی کنند، استانداردسازی نمره Z پیش‌فرض ریاضی است. اگر توزیع کاملاً ناشناخته یا به شدت غیرگوسی باشد، نرمال‌سازی مین-مکس یک استراتژی مهار ایمن‌تر، هرچند شکننده‌تر، ارائه می‌دهد.[2]

اهمیت این انتخاب ریاضی بسیار فراتر از قفسه‌های سرور است. رتبه‌بندی دانشگاه‌ها، امتیازات ESG (محیط زیستی، اجتماعی و حاکمیتی) شرکت‌ها، و رتبه‌بندی‌های اعتباری دولتی، همگی متکی بر تجمیع معیارهای متفاوت هستند. تغییر از مین-مکس به نمره Z می‌تواند یک دانشگاه متوسط را به سادگی به ۱۰ رتبه برتر منتقل کند، زیرا به موقوفه عظیم و منحصر به فرد آن اجازه داده می‌شود تا وزن کامل خود را بکشد، به جای اینکه در عدد ۱ محدود شود.[4]

معماری یک جدول رده‌بندی در مخرج کسر آن نوشته شده است. هنگامی که یک رتبه‌بندی نهایی منتشر می‌شود، مهم‌ترین متغیر به ندرت عملکرد خام رقباست. بلکه مرز ریاضیاتی است که معماران برای اعمال بر نقاط شدید انتخاب کرده‌اند.[4]