هوش مصنوعی مثال نقض ساده‌ای برای حدس ۸۷ ساله ژاکوبین پیدا کرد و نسخه‌های با ابعاد بالاتر آن را باطل ساخت

برای ۸۷ سال، ریاضیدانان بر سر یک پرسش ظاهراً ساده در بن‌بست بودند: اگر یک تبدیل ریاضی هرگز فضا را به طور کامل فشرده نکند، آیا همیشه می‌توان آن را به طور کامل معکوس کرد؟ حدس ژاکوبین پیشنهاد می‌کرد که پاسخ مثبت است، به شرطی که این تبدیل از چندجمله‌ای‌ها تشکیل شده باشد.

اما تنوع بی‌نهایت چندجمله‌ای‌ها اثبات آن را غیرممکن می‌ساخت، در حالی که یافتن یک مثال نقض واحد شبیه جستجوی سوزن در انبار کاهی به اندازه جهان بود. ریاضیدانان در چرخه‌ای از اثبات‌های پیشنهادی گیر کرده بودند که ناگزیر حاوی خطاهای ظریفی بودند و مسئله را در حالت تعلیق باقی گذاشته بودند.

این بن‌بست در ۱۹ ژوئیه ۲۰۲۶ شکسته شد. در حالی که میلیون‌ها نفر فینال جام جهانی را تماشا می‌کردند، یک مدل هوش مصنوعی به نام کلود فیبل ۵ (Claude Fable 5) در آن انبار کاه بی‌نهایت جستجو کرد و سوزن را بیرون کشید. لونت آلپوگه (Levent Alpöge)، ریاضیدان شرکت آنتروپیک و دانشگاه هاروارد، نتیجه را در شبکه‌های اجتماعی منتشر کرد: یک معادله چندجمله‌ای کوتاه از درجه هفت که حدس ژاکوبین را برای سه بُعد و بالاتر به طور کامل در هم می‌شکند.[1][4]

حدس ژاکوبین، که توسط اوت-هاینریش کلر (Ott-Heinrich Keller) در سال ۱۹۳۹ رسمیت یافت، به نگاشت‌های چندجمله‌ای با مقادیر برداری می‌پردازد—توابعی که چندین عدد را به عنوان ورودی می‌گیرند و چندین عدد را به عنوان خروجی می‌دهند. برای درک این ادعا، باید به «دترمینان ژاکوبین» نگاه کرد، ابزاری ریاضی که میزان کشیدگی یا چرخش فضا توسط یک تابع را به صورت محلی اندازه‌گیری می‌کند.[3][5]

اگر این دترمینان یک ثابت غیرصفر باشد، تابع در همه جا به صورت محلی برگشت‌پذیر است. این بدان معناست که اگر به اندازه کافی به هر نقطه‌ای نزدیک شوید، تبدیل مانند یک شبکه ساده و برگشت‌پذیر عمل می‌کند. این حدس ادعا می‌کرد که این برگشت‌پذیری محلی، یک معکوس چندجمله‌ای سراسری را تضمین می‌کند—به این معنی که شما همیشه می‌توانید از هر کجای فضا، مسیر خود را به مختصات شروع دقیق ردیابی کنید.[3][5]

برای دهه‌ها، ریاضیدانان این موضوع را درست می‌دانستند. این مسئله آنقدر بنیادی تلقی می‌شد که استفن اسمیل (Stephen Smale)، برنده مدال فیلدز، آن را در فهرست ۱۸ مسئله مهم ریاضی برای قرن ۲۱ در سال ۱۹۹۸ گنجاند.[1][2]

مثال نقض تولید شده توسط هوش مصنوعی، این فرض را با استفاده از یک تابع خاص که فضای مختلط سه‌بُعدی را به خودش نگاشت می‌کند، از بین می‌برد. داده‌ها بدون ابهام هستند: دترمینان ژاکوبین آن دقیقاً ۲- در هر نقطه است و شرط کلر را به طور کامل برآورده می‌کند.[3][5][6]

با این حال، این تابع حاوی یک نقص مهلک برای این حدس است. هنگامی که سه مختصات شروع متمایز و مشخص را وارد می‌کنید، تابع دقیقاً همان مقصد را به عنوان خروجی می‌دهد. از آنجا که سه مسیر مختلف به یک مقصد منتهی می‌شوند، تابع نمی‌تواند معکوس شود.[2][3][4]

این امر قضیه تابع معکوس را نقض نمی‌کند، که برگشت‌پذیری محلی را تضمین می‌کند. معکوس‌های محلی در اطراف هر یک از سه نقطه ورودی وجود دارند، اما آن‌ها با هم در یک معکوس سراسری واحد جای نمی‌گیرند. در نزدیکی خروجی مشترک، چندین شاخه معکوس محلی وجود دارد که به جهات مختلفی منتهی می‌شوند و یک معکوس چندجمله‌ای سراسری را غیرممکن می‌سازند.[3]

در حالی که محاسبات ریاضی تأیید شده و غیرقابل انکار است، این شواهد مرزهای مشخصی دارند. از آنجا که مثال نقض در سه بُعد عمل می‌کند، این حدس را برای ابعاد سه‌بُعدی و هر بُعد بالاتر رد می‌کند. با این حال، این مثال به نسخه اصلی دو بُعدی مسئله که اولین بار توسط لودویگ کراوس (Ludwig Kraus) در سال ۱۸۸۴ مطرح شد، دست نمی‌زند و آن نسخه همچنان کاملاً حل‌نشده باقی مانده است.[1][2][4]

ساختار ریاضی که امکان برخورد در فضای سه‌بُعدی را فراهم می‌کند، متکی بر آزادی مقیاس‌بندی است که در فضای دو بُعدی از بین می‌رود. تصویر فاکتورگیری یک توضیح محدود اما روشنگر ارائه می‌دهد که چرا مکانیسم جدید بلافاصله به صفحه (فضای دو بُعدی) تسری نمی‌یابد و مشهورترین نسخه مسئله را دست‌نخورده باقی می‌گذارد.[3]

این پیشرفت، تغییری را در نحوه استفاده از هوش مصنوعی در ریاضیات برجسته می‌کند. هوش مصنوعی یک اثبات منطقی ۱۰۰ صفحه‌ای ننوشت؛ بلکه یک فضای جستجوی عظیم از نگاشت‌های چندجمله‌ای را پیمایش کرد تا یک مثال نقض واحد و مهلک را پیدا کند.[2][4]

معادله حاصل آنقدر مختصر است که در یک پست شبکه‌های اجتماعی جا می‌شود و به ریاضیدانان انسانی اجازه داد تا محاسبات را ظرف چند ساعت به صورت دستی تأیید کنند. این ایجاز، تضاد شدیدی با ساختارهای پیچیده‌ای دارد که معمولاً برای شکستن حدس‌های دیرینه مورد نیاز است.[4][6]

آنچه مبهم باقی می‌ماند، روش دقیق پرامپت‌نویسی است که برای سوق دادن مدل به سمت این ساختار چندجمله‌ای خاص استفاده شده است. دشواری کار در پیچیدگی پاسخ نبود، بلکه در یافتن راهی برای جستجوی مؤثر در آن فضا بود.[2]

علاوه بر این، در حالی که هوش مصنوعی در یافتن این اشیاء پنهان برتری دارد، ریاضیدانان هشدار می‌دهند که مدل‌ها همچنان برای تولید اثبات‌های منطقی گام به گام و قابل اعتماد برای مسائلی که به آن‌ها نیاز دارند، دچار مشکل هستند. حدس ژاکوبین در ابعاد بالاتر شکسته شده است، اما جستجو برای یک موتور استدلال ریاضی واقعی ادامه دارد.[1]